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设函数f(x)在(0,+∞)上二阶可导,且f’’(x)>0,记μn=f(n),n=1,2,…,又μ1<μ2,证明μn=+∞。
设函数f(x)在(0,+∞)上二阶可导,且f’’(x)>0,记μn=f(n),n=1,2,…,又μ1<μ2,证明μn=+∞。
admin
2018-11-11
81
问题
设函数f(x)在(0,+∞)上二阶可导,且f
’’
(x)>0,记μ
n
=f(n),n=1,2,…,又μ
1
<μ
2
,证明
μ
n
=+∞。
选项
答案
对函数f(x)分别在区间[k,k+1](k=1,2,…,n,…)上使用拉格朗日中值定理μ
2
一μ
1
=f(2)一f(1)=f
’
(ξ
1
)>0,1<ξ
1
<2, …… μ
n-1
一μ
n-2
=f(n一1)一f(n一2)=f
’
(ξ
n-2
),n一2<ξ
n-2
<n一1, μ
n
一μ
n-1
=f(n)一f(n一1)=f
’
(ξ
n-1
),n一1<ξ
n-1
<n。 因f
’’
(x)>0,故f
’
(x)严格单调增加,即有 f
’
(ξ
n-1
)>f
’
(ξ
n-2
)>…>f
’
(ξ
2
)>f
’
(ξ
1
)=μ
2
一μ
1
, 则 μ
n
=(μ
n
一μ
n-1
)+(μ
n-1
—μ
n-2
)+…+(μ
2
一μ
1
)+μ
1
=f
’
(ξ
n-1
)+f
’
(ξ
n-2
)+…+f
’
(ξ
1
)+μ
1
>f
’
(ξ
1
)+f
’
(ξ
1
)+…+f
’
(ξ
1
)+μ
1
=(n一1)(μ
2
一μ
1
)+μ
1
, 于是有[*]=+∞。
解析
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考研数学二
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