2. 考研
  3. 设函数f(x)在(0，+∞)上二阶可导，且f’’(x)＞0，记μn=f(n)，n=1，2，…，又μ1＜μ2，证明μn=+∞。

设函数f(x)在(0，+∞)上二阶可导，且f’’(x)＞0，记μn=f(n)，n=1，2，…，又μ1＜μ2，证明μn=+∞。

admin2018-11-11  56
问题 设函数f(x)在(0，+∞)上二阶可导，且f’’(x)＞0，记μn=f(n)，n=1，2，…，又μ1＜μ2，证明μn=+∞。
选项
答案对函数f(x)分别在区间[k，k+1](k=1，2，…，n，…)上使用拉格朗日中值定理μ2一μ1=f(2)一f(1)=f’(ξ1)＞0，1＜ξ1＜2， …… μn－1一μn－2=f(n一1)一f(n一2)=f’(ξn－2)，n一2＜ξn－2＜n一1， μn一μn－1=f(n)一f(n一1)=f’(ξn－1)，n一1＜ξn－1＜n。 因f’’(x)＞0，故f’(x)严格单调增加，即有 f’(ξn－1)＞f’(ξn－2)＞…＞f’(ξ2)＞f’(ξ1)=μ2一μ1， 则 μn=(μn一μn－1)+(μn－1—μn－2)+…+(μ2一μ1)+μ1 =f’(ξn－1)+f’(ξn－2)+…+f’(ξ1)+μ1 ＞f’(ξ1)+f’(ξ1)+…+f’(ξ1)+μ1 =(n一1)(μ2一μ1)+μ1， 于是有[*]=+∞。
解析
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考研数学二

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