设函数f(x)在(0,+∞)上二阶可导,且f’’(x)>0,记μn=f(n),n=1,2,…,又μ1<μ2,证明μn=+∞。

admin2018-11-11  35

问题 设函数f(x)在(0,+∞)上二阶可导,且f’’(x)>0,记μn=f(n),n=1,2,…,又μ1<μ2,证明μn=+∞。

选项

答案对函数f(x)分别在区间[k,k+1](k=1,2,…,n,…)上使用拉格朗日中值定理μ2一μ1=f(2)一f(1)=f1)>0,1<ξ1<2, …… μn-1一μn-2=f(n一1)一f(n一2)=fn-2),n一2<ξn-2<n一1, μn一μn-1=f(n)一f(n一1)=fn-1),n一1<ξn-1<n。 因f’’(x)>0,故f(x)严格单调增加,即有 fn-1)>fn-2)>…>f2)>f1)=μ2一μ1, 则 μn=(μn一μn-1)+(μn-1—μn-2)+…+(μ2一μ1)+μ1 =fn-1)+fn-2)+…+f1)+μ1 >f1)+f1)+…+f1)+μ1 =(n一1)(μ2一μ1)+μ1, 于是有[*]=+∞。

解析
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