设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一1，且α1=(1，a+1，2)T，α1=(a一1，一a，1)T。分别是λ1，λ2对应的特征向量．又A的伴随矩阵A有一个特征值为A,属于λ0的特征向量为α0=(2，一5a，2a+1)T．试求a、λ0

admin2016-01-11 57

问题设3阶实对称矩阵A的特征值λ₁=1，λ₂=2，λ₃=一1，且α₁=(1，a+1，2)^T，α₁=(a一1，一a，1)^T。分别是λ₁，λ₂对应的特征向量．
又A的伴随矩阵A^*有一个特征值为A^*,属于λ₀的特征向量为α₀=(2，一5a，2a+1)^T．试求a、λ₀的值，并求矩阵A．

选项

答案由于｜A｜=λ₁λ₂λ₃=一2，故A可逆．由于α₀是A^*的属于λ₀的特征向量．所以A^*α₀=λ₀α₀．于是AA^*α₀=λ₀Aα₀，即｜A｜α₀=λ₀Aα₀，亦即一2α₀=λ₀Aα₀．故[*]．从而[*]是A的特征值，α₀是A的关于[*]对应的特征向量．又由于α₁，α₂为实对称矩阵A的不同特征值的特征向量，故α₁，α₂正交，即α₁^Tα₂=0，得a=±1．无论a=1还是a=一1，则有α₀与α₁，α₂中任何一个都线性无关，所以α₀应是矩阵A的属于λ₃的特征向量，于是有[*]．从而λ₀=2．且α₀与α₁正交，即α₀^Tα₁=5a²+a—4=0，则[*]或a=一1，于是a=一1，λ₀=2． [*]

解析本题考查实对称矩阵相似对角矩阵的逆问题．运用实对称矩阵不同的特征值所对应的特征向量必正交的性质来确定a与λ₀．

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考研数学二

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设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一1，且α1=(1，a+1，2)T，α1=(a一1，一a，1)T。分别是λ1，λ2对应的特征向量．又A的伴随矩阵A有一个特征值为A,属于λ0的特征向量为α0=(2，一5a，2a+1)T．试求a、λ0

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设3阶实对称矩阵A满足A2=2A，已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx经正交变换x=Qy化为λy22+λy32(λ≠0)，其中Q=(b＞0，c＞0)．求a，b，c的值；

设f(x，y)=x+Y+1在D={(x，y)｜x2+y2≤a2，a＞0}上取得最大值+1，求a的值．

设A是3阶矩阵，3维非零列向量α不是A的特征向量，且A2α+Aα-2α=0，f(x)=｜xE-A｜，则存在x0∈(-2，1)使得曲线y=f(x)在(x0，f(x0))处的切线垂直于()

设幂级数an(x+1)n在x=4处条件收敛，在x=-6处发散，则幂级数的收敛域为________．

设X1，X2，…，Xn(n＞2)为来自总体X的简单随机样本。EX=μ，DX=σ2，记，若ET=σ2，则k=()

设函数f(x)连续且恒大于零，其中Ω(t)={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2}，D(t)={(x，y)｜x2+y2≤t2}．证明：当t＞0时，F(t)＞G(t)．

设D是以点O(0，0)，A(1，2)，B(2，1)为顶点的三角形区域，则xdxdy=________．

设曲线L为球面x2+y2+z2=1与平面z+y+z=0的交线，则∮L(xy+yz+zx)ds=()．

计算dxdy，其中D为单位圆x2+y2=1所围成的位于第一象限的部分.

目前，中国建立的自治区有______。

销售税费一般不计息。()

企业的每位员工在进入自己的电脑系统的时候，都会输入自己的账户和密码，并且企业要求每位员工设置的密码包含至少八位，且其中必须包含数字，字母和符号，这种信息系统控制的方式属于是()。

下列属于岩溶地貌的是()

劳动争议协商的步骤包括：①提出协商要求；②口头或书面回应；③申请调解或仲裁；④签订书面和解协议；⑤不履行和解协议。正确顺序是()。

某系统在打印数据时，读数据进程、处理数据进程和打印结果进程之间的相互关系是()。

Whentheyadviseyourkidsto"getaneducation"ifyouwanttoraiseyourincome,theytellyouonlyhalfthetruth.Whatthey

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设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一1，且α1=(1，a+1，2)T，α1=(a一1，一a，1)T。分别是λ1，λ2对应的特征向量． 又A的伴随矩阵A*有一个特征值为A*,属于λ0的特征向量为α0=(2，一5a，2a+1)T．试求a、λ0

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