设A为3阶矩阵，α1,α2,α3是线性无关的3维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3．求可逆矩阵P，使得P一1AP为对角矩阵．

admin2016-01-11 71

问题设A为3阶矩阵，α₁,α₂,α₃是线性无关的3维列向量，且满足Aα₁=α₁+α₂+α₃，Aα₂=2α₂+α₃，Aα₃=2α₂+3α₃．
求可逆矩阵P，使得P^一1AP为对角矩阵．

选项

答案由题设，有A(α₁一α₂)=α₁一α₂，A(2α₁一α₃)=2α₁一α₃，A(α₂+α₃)=4(α₂+α₃)，从而α₁一α₂，2α₁一α₃是A的属于特征值1的两个特征向量，α₂+α₃是A的属于特征值4的特征向量．又α₁一α₂，2α₁一α₃线性无关，从而α₁－α₂，2α₁－α₃，α₂+α₃线性无关，故P=(α₁一α₂，2α₁－α₃，α₂+α₃)为所求的可逆矩阵．

解析

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