首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数. (1)试证存在x0∈(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积,等于在[x0,1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积. (2)又设f(x)在区间(0,1)内可导,且,证明(1)中的x0
设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数. (1)试证存在x0∈(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积,等于在[x0,1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积. (2)又设f(x)在区间(0,1)内可导,且,证明(1)中的x0
admin
2014-07-22
53
问题
设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.
(1)试证存在x
0
∈(0,1),使得在区间[0,x
0
]上以f(x
0
)为高的矩形面积,等于在[x
0
,1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积.
(2)又设f(x)在区间(0,1)内可导,且
,证明(1)中的x
0
是唯一的.
选项
答案
(1)令ψ(x)=-x∫
x
1
f(t)dt.则ψ(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且ψ(0)=ψ(1)=0.由罗尔定理知,存在x∫
0
∈(0,1),使ψ’(x∫
0
)=0,即 ψ’(x∫
0
)=x∫
0
f(x(0)-∫
x
0
1
f(t)dt=0, 也即x
0
f(x
0
)=∫
x
0
1
f(x)dx. (2)令F(x)=xf(x)-∫
x
1
(t)dt,则 F’(x)=xf’(x)+f(z)+f(x)=2f(x)+xf’(x)>0, 即F(x)在(0,1)内严格单调增加,从而F(x)=0的点x=x
0
必唯一,故(1)中的x
0
是唯一的.
解析
[分析](1)要证的结论相当于存在x
0
∈(0,1),使x
0
f(x
0
)=∫x
0
0
f(x)dx,可考虑对辅助函数ψ(x)=xf(x)-∫x
0
0
f(x)dt在闭区间[0,1]上用连续函数的介值定理,但ψ(0)ψ(1)<0是否成立?仅由f(x)是非负连续函数无法推证,可改用微分中值定理,ψ(x)是某函数导数的结果,这只需令 ψ’(x)=xf(x)-∫
x
1
(t)dt,
然后积分得ψ(x)=∫
x
1
f(t)dt,再对其应用罗尔定理即可.
(2)唯一性一般用单调性证明,而这只需证明ψ’(x)定号即可.
[评注] 本题表面上用连续函数的介值定理,而实际上要用微分叶中值定理,其关键又存于构造合适的辅助函数.本题先令
ψ(x)=xf(x)-∫
x
1
f(t)df,
用介值定理无法证明,再改令
ψ(x)=xf(x)-∫
x
1
f(t)dt,
然后通过不定积分,得到所需辅助函数ψ(x)=-x∫
x
1
f(t)dt,这种处理技巧值得注意.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/7R34777K
0
考研数学二
相关试题推荐
求方程y"一4y′+4y=e2x的通解.
求极限
过坐标原点作曲线y=lnx的切线,该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D.求D绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积Vx.
设函数则判断f′(x)在x=0处是否可导.
设y1,y2是二阶微分方程y"+p(x)y′+q(x)y=0的两个解,则y=C1y1+C2y2(C1,C2为两个任意常数)必是该方程的().
求解不定积分
微分方程y"-3y’+2y=2ex满足的特解为=________。
设f(x1,x2,x3)=xTAx=x21+x22+x23+4xl戈2+4x1x3+4x2x3,求正交变换化二次型为标准形,并求当x满足xTx=x21+x22+x23=2时,f(x1,x2,x3)的最大值。
从点P1(1,0)作x轴的垂线,交抛物线y=x2于点Q1(1,1),再从Q1作这条抛物线的切线与x轴交于P2,然后又从P2作x轴的垂线,交抛物线于点Q2…,依次重复上述过程得到一系列的点P1,Q1,P2,Q2,…,Pn,Qn,….(Ⅰ)求(Ⅱ)求级数其
设y=y(x)是二阶常系数微分方程y”+Py’+qy=e3x满足初始条件y(0)=y’(0)=0的特解,则当x→0时,求函数[ln(1+x2)]/y(x)的极限.
随机试题
驾驶机动车遇到这样的情况要提前减速或停车让行。(图4.1.3)
逍遥散组成药物中无
下列关于抑制性突触后电位的叙述.正确的是
备选项目之间存在多种关系,下列选项中为非最常见的关系是()。
下列各项中,属于税款征收强制执行的措施是()。
下列船舶中应征收船舶吨税的有:
在Word编辑状态下,设置段落的行距时,下列说法错误的是()。
在美国,实行死刑的州,其犯罪率要比不实行死刑的州低,因此死刑能够减少犯罪。以下哪项如果为真,最可能质疑上述推断?
将“学生”表中班级字段的宽度由原来的8改为12,正确的命令是
Thepublicmustbeabletounderstandthebasicsofsciencetomakeinformeddecisions.Perhapsthemostdramaticexampleofthe
最新回复
(
0
)