设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数. (1)试证存在x0∈(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积,等于在[x0,1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积. (2)又设f(x)在区间(0,1)内可导,且,证明(1)中的x0

admin2014-07-22  45

问题 设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.
(1)试证存在x0∈(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积,等于在[x0,1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积.
(2)又设f(x)在区间(0,1)内可导,且,证明(1)中的x0是唯一的.

选项

答案(1)令ψ(x)=-x∫x1f(t)dt.则ψ(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且ψ(0)=ψ(1)=0.由罗尔定理知,存在x∫0∈(0,1),使ψ’(x∫0)=0,即 ψ’(x∫0)=x∫0f(x(0)-∫x01f(t)dt=0, 也即x0f(x0)=∫x01f(x)dx. (2)令F(x)=xf(x)-∫x1(t)dt,则 F’(x)=xf’(x)+f(z)+f(x)=2f(x)+xf’(x)>0, 即F(x)在(0,1)内严格单调增加,从而F(x)=0的点x=x0必唯一,故(1)中的x0是唯一的.

解析 [分析](1)要证的结论相当于存在x0∈(0,1),使x0f(x0)=∫x00f(x)dx,可考虑对辅助函数ψ(x)=xf(x)-∫x00f(x)dt在闭区间[0,1]上用连续函数的介值定理,但ψ(0)ψ(1)<0是否成立?仅由f(x)是非负连续函数无法推证,可改用微分中值定理,ψ(x)是某函数导数的结果,这只需令    ψ’(x)=xf(x)-∫x1(t)dt,
然后积分得ψ(x)=∫x1f(t)dt,再对其应用罗尔定理即可.
    (2)唯一性一般用单调性证明,而这只需证明ψ’(x)定号即可.
[评注]  本题表面上用连续函数的介值定理,而实际上要用微分叶中值定理,其关键又存于构造合适的辅助函数.本题先令
ψ(x)=xf(x)-∫x1f(t)df,
用介值定理无法证明,再改令
    ψ(x)=xf(x)-∫x1f(t)dt,
然后通过不定积分,得到所需辅助函数ψ(x)=-x∫x1f(t)dt,这种处理技巧值得注意.
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