设A是3阶矩阵，3维非零列向量α不是A的特征向量，且A2α+Aα-2α=0，f(x)=｜xE-A｜，则存在x0∈(-2，1)使得曲线y=f(x)在(x0，f(x0))处的切线垂直于( )

admin2022-04-27 118

问题设A是3阶矩阵，3维非零列向量α不是A的特征向量，且A²α+Aα-2α=0，f(x)=｜xE-A｜，则存在x₀∈(-2，1)使得曲线y=f(x)在(x₀，f(x₀))处的切线垂直于( )

选项 A、y=1．
B、x=1．
C、y=x．
D、y=-x．

答案B

解析由A²α+Aα-2α=0，知(A-E)(A+2E)α=0．若A-E可逆，则(A+2E)α=0，即Aα=-2α，与已知矛盾，故A-E不可逆．同理，可知A+2E不可逆，从而｜A-E｜=0，且｜A+2E｜=0，于是A有特征值λ=1，λ=-2，故
f(1)=｜E-A｜=0，f(-2)=｜-2E-A｜=0．
由罗尔定理，可知至少存在一点x₀∈(-2，1)，使得f’(x₀)=0，B正确．

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