2. 考研
  3. 设f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且对任意x∈(-∞，+∞)，y∈(-∞，+∞)，满足f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，f’(0)=a≠0．证明：对任意x∈(-∞，+∞)，f’(x)存在，并求f(x)．

设f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且对任意x∈(-∞，+∞)，y∈(-∞，+∞)，满足f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，f’(0)=a≠0．证明：对任意x∈(-∞，+∞)，f’(x)存在，并求f(x)．

admin2022-07-21  63
问题 设f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且对任意x∈(-∞，+∞)，y∈(-∞，+∞)，满足f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，f’(0)=a≠0．证明：对任意x∈(-∞，+∞)，f’(x)存在，并求f(x)．
选项
答案由等式f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex得f(x)=f(x)+f(0)ex，所以f(0)=0．那么对于任意x∈(-∞，+∞)，有 [*] 即f’(x)=f(x)+f’(0)ex． 解这个一阶线性微分方程，得f(x)=ex(ax+C)．再由f(0)=0，可求f(x)=axex．
解析
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考研数学三

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