设f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且对任意x∈(-∞，+∞)，y∈(-∞，+∞)，满足f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，f’(0)=a≠0．证明：对任意x∈(-∞，+∞)，f’(x)存在，并求f(x)．

admin2022-07-21 83

问题设f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且对任意x∈(-∞，+∞)，y∈(-∞，+∞)，满足f(x+y)=f(x)e^y+f(y)e^x，f’(0)=a≠0．证明：对任意x∈(-∞，+∞)，f’(x)存在，并求f(x)．

选项

答案由等式f(x+y)=f(x)e^y+f(y)e^x得f(x)=f(x)+f(0)e^x，所以f(0)=0．那么对于任意x∈(-∞，+∞)，有 [*] 即f’(x)=f(x)+f’(0)e^x．解这个一阶线性微分方程，得f(x)=e^x(ax+C)．再由f(0)=0，可求f(x)=axe^x．

解析

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考研数学三

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