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设三阶实对称矩阵A的秩为2,λ1=λ2=6是A的二重特征值,若α1=(1,1,0)T,α2=(2,1,1)T, α3=(-1,2,-3)T都是A的属于特征值6的特征向量. (1)求A的另一特征值和对应的特征向量; (2)求矩阵A.
设三阶实对称矩阵A的秩为2,λ1=λ2=6是A的二重特征值,若α1=(1,1,0)T,α2=(2,1,1)T, α3=(-1,2,-3)T都是A的属于特征值6的特征向量. (1)求A的另一特征值和对应的特征向量; (2)求矩阵A.
admin
2018-08-02
47
问题
设三阶实对称矩阵A的秩为2,λ
1
=λ
2
=6是A的二重特征值,若α
1
=(1,1,0)
T
,α
2
=(2,1,1)
T
,
α
3
=(-1,2,-3)
T
都是A的属于特征值6的特征向量.
(1)求A的另一特征值和对应的特征向量;
(2)求矩阵A.
选项
答案
(1)因为λ
1
=λ
2
=6是A的二重特征值,故A的属于特征值6的线性无关的特征向量有2个,有题设可得α
1
,α
2
,α
3
一个极大无关组为α
1
,α
2
,故α
1
,α
2
为A的属于特征值6的线性无关的特征向量. 由r(A)=2知|A|=0,所以A的另一特征值为λ
3
=0. 设λ
3
=0对应的特征向量为α=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,则有α
i
T
α=0(i=1,2),即 [*] 解得此方程组的基础解系为α=(-1,1,1)
T
,即A的属于特征值λ
3
=0的特征向量为kα=k(-1,1,1)
T
(k为任意非零常数). (2)令矩阵P=[α
1
,α
2
,α],则有 P
-1
AP=[*],所以A=P[*]P
-1
, 计算可得 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/n1j4777K
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