设f(x),g(x)在点x=x0处可导且f(x0)=g(x0)=0,f’(x0)g’(x0)<0,则

admin2022-09-14  25

问题 设f(x),g(x)在点x=x0处可导且f(x0)=g(x0)=0,f’(x0)g’(x0)<0,则

选项 A、x0不是f(x)g(x)的驻点.
B、x0是f(x)g(x)的驻点,但不是f(x)g(x)的极值点.
C、x0是f(x)g(x)的驻点,且是f(x)g(x)的极小值点.
D、x0是f(x)g(x)的驻点,且是f(x)g(x)的极大值点.

答案D.

解析 由于[f(x)g(x)]’=f’(x0)g(x0)+f(x0)g’(x0)=0,因此x=x0是f(x)g(x)的驻点,进一步考察是否是它的极值点.
    由条件f’(x0)g’(x0)<0→f’(x0)<0,g’(x0)>0(或f’(x0)>0,g’(x0)<0).由

→x∈(x0,x0+δ)时
    f(x)<0(>0),  g(x)>0(<0);
  x∈(x0一δ,x0)时
    f(x)>0(<0),  g(x)<0(>0)
→x∈(x0—δ,x0+δ),x≠x0
    f(x)g(x)<0=f(x0)g(x0)
→x=x0是f(x)g(x)的极大值点.因此选D.
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