设连续函数f(x)满足f(x)=∫02xf()dt+ex，则f(x)=___________。

admin2019-05-14 50

问题设连续函数f(x)满足f(x)=∫₀^2xf(

)dt+e^x，则f(x)=___________。

选项

答案2e^2x—e^x

解析因∫₀^2xf(

)dt=2∫₀^xf(t)dt，所以f(x)=∫₀^2xf(

)dt+e^x可化为f(x)=2∫₀^xf(t)dt+e^x，两边求导数得f’(x)一f(x)=e^x，解此一阶微分方程得
f(x)=[∫e^x．e^∫—2dxdx+C]e^-∫—2dx=(一e^-x+C)e^2x=Ce^2x—e^x。
因为f(0)=1，所以有f(0)=C一1=1，即C=2，于是f(x)=2e^2x—e^x。

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