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设有两个线性方程组： 其中向量b=(b1，b2，…，bm)T≠0．证明：方程组(Ⅰ)有解的充分必要条件，是(Ⅱ)的每一解y=(y1，y2，…，ym)T都满足方程b1y1+b2y2+…+bmym=0．
设有两个线性方程组： 其中向量b=(b1，b2，…，bm)T≠0．证明：方程组(Ⅰ)有解的充分必要条件，是(Ⅱ)的每一解y=(y1，y2，…，ym)T都满足方程b1y1+b2y2+…+bmym=0．
admin
2018-08-03
63
问题
设有两个线性方程组：
其中向量b=(b
1
，b
2
，…，b
m
)
T
≠0．证明：方程组(Ⅰ)有解的充分必要条件，是(Ⅱ)的每一解y=(y
1
，y
2
，…，y
m
)
T
都满足方程b
1
y
1
+b
2
y
2
+…+b
m
y
m
=0．
选项
答案
记A=(a
ij
)
m×n
，x=(x
1
，x
2
，…，x
n
)
T
，y=(y
1
，y
2
，…，y
n
)
T
，则方程组(Ⅰ)的矩阵形式为Ax=b，方程组(Ⅱ)的矩阵形式为A
T
y=0，方程[*]b
i
y
i
=0的矩阵形式为b
T
y=0．必要性：设方程组(Ⅰ)有解x，y为(Ⅱ)的任一解，则b
T
y=(Ax)
T
y=x
T
(A
T
y)=x
T
O=0，故(Ⅱ)的任一解y都满足方程b
T
y=0．充分性：在充分性条件下，两个齐次线性方程组[*]=0与A
T
y=0同解，故其系数矩阵的秩相同，从而系数矩阵的转置矩阵的秩也相同，即r(A)=r(A┊b)．由有解判定定理知方程组(Ⅰ)有解．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/7rg4777K
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考研数学一
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