设函数f(x)具有2阶导数,g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x,则在区间[0,1]上

admin2019-03-11  45

问题 设函数f(x)具有2阶导数,g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x,则在区间[0,1]上

选项 A、当f(x)≥0时,f(x)≥g(x)
B、当f(x)≥0时,f(x)≤g(x)
C、当f’’(x)≥0时,f(x)≥g(x)
D、当f’’(x)≥0时,f(x)≤g(x)

答案D

解析 【分析一】  由g(x)的表达式可知,g(0)=f(0),g(1)=f(1).
即f(x)与g(x)在区间[0,1]的端点函数值相等.
  g(x)=f(0)+[f(1)-(0)]x是一条直线,斜率k=f(1)-f(0).
  当f(x)≥0时,说明f(x)单调不减,无法判定f(x)与g(x)的大小.
  当f’’≥0时,f(x)在区间[0,1]上是上凹的,g(x)是连接f(x)两个端点的弦,故g(x)≥f(x).
  正确选项为(D).
  【分析二】令ω(x):f(x)-g(x)==>ω(0)=f(0)-f(0)=0,ω(1)=f(1)-f(1)=0
    在[0,1]上,当f’’(x)≥0时,ω’’(x)=f’’(x)-g’’(x)=f’’(x)≥0==>ω(x)≤0,即f(x)≤g(x).选(D).
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