A和B都是n阶矩阵．给出下列条件 ①A是数量矩阵． ②A和B都可逆． ③(A+B)2=A2+2AB+B2． ④AB=cE． ⑤(AB)2=A2B2．则其中可推出AB=BA的有( )

admin2017-10-21 62

问题 A和B都是n阶矩阵．给出下列条件
①A是数量矩阵．
②A和B都可逆．
③(A+B)²=A²+2AB+B²．
④AB=cE．
⑤(AB)²=A²B²．
则其中可推出AB=BA的有( )

选项 A、①②③④⑤
B、①③⑤
C、①③④
D、①③

答案D

解析 ①和③的成立是明显的．②是不对的，如

则

④AB=cE，在c≠0时可推出AB=BA，但是c=0时则推不出AB=BA．
如

则

⑤(AB)²=A²B²推不出AB=BA．对于④中的A和B,(AB)²和A²B²都是零矩阵，但是AB≠BA．

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