2. 考研
  3. ①设α1,α2，…，αs和β1β2，…，βt都是n维向量组，证明r(α1,α2，…，αs，β1β2，…，βt)≤r(α1,α2，…，αs)+r(β1β2，…，βt)． ②设A和B是两个行数相同的矩阵，r(A｜B)≤r(A)+r(B)． ③设A和B是两个列数

①设α1,α2，…，αs和β1β2，…，βt都是n维向量组，证明r(α1,α2，…，αs，β1β2，…，βt)≤r(α1,α2，…，αs)+r(β1β2，…，βt)． ②设A和B是两个行数相同的矩阵，r(A｜B)≤r(A)+r(B)． ③设A和B是两个列数

admin2017-10-21  27
问题 ①设α1,α2，…，αs和β1β2，…，βt都是n维向量组，证明r(α1,α2，…，αs，β1β2，…，βt)≤r(α1,α2，…，αs)+r(β1β2，…，βt)．
②设A和B是两个行数相同的矩阵，r(A｜B)≤r(A)+r(B)．
③设A和B是两个列数相同的矩阵，表示A在上，B在下构造的矩阵．证明
选项
答案这是3个互相等价的命题：①是②的向量形式；③是②的转置形式．因此对其中之一的证明就完成了这3个命题的证明． 证明①．取{α1,α2，…，αs，β1β2，…，βt}的一个最大无关组(I)，记(I)，是(I)中属于α1,α2，…，αs中的那些向量所构成的部分组，(I)2是(I)中其余向量所构成的部分组．于是(I)，和(I)2分别是属于α1,α2，…，αs和β1β2，…，βt的无关部分组，因此它们包含向量个数分别不超过r(α1,α2，…，αs)和r(β1β2，…，βt)．从而r(α1,α2，…，αs，β1β2，…，βt)=(I)中向量个数=(I)1中向量个数+(I)2中向量个数)≤r(α1,α2，…，αs)+r(β1β2，…，βt)．
解析
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考研数学三

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