已知矩阵A＝和B＝相似，求a，b的值及一个可逆矩阵P，使P－1AP＝B．

admin2019-08-27 25

问题已知矩阵A＝

和B＝

相似，求a，b的值及一个可逆矩阵P，使P^－1AP＝B．

选项

答案因为A，B相似，所以｜A｜＝｜B｜，且tr(A)＝tr(B)，即[*]解得[*] [*] 故A的两个特征值为－1，－1．但(－E－A)＝[*] 因此R(－E－A)＝1，所以不能对角化．设P＝[*]，满足P^－1AP＝B，即有AP＝PB，从而 [*] 整理得[*] 解得基础解系为[*] 所以[*]，k₁，k₂为非零常数．令k₁＝k₂＝1／2，则[*]．所以可令P＝[*]，则有P^－1AP＝B．

解析【思路探索】经验证，A不能相似对角化，故使用待定系数法求P．
【错例分析】本题最常见错误即认为P^－1AP就是将A相似对角化．事实上，由｜λE－A｜＝0解得λ＝－1是A的二重特征值，但R(－E－A)＝R

＝1，故A只有一个线性无关的特征向量，即A不能相似对角化．

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考研数学一

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