二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(2x1+3x2+x3)2—5(x2+x3)2的规范形为( )

admin2018-12-29  31

问题 二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(2x1+3x2+x3)2—5(x2+x3)2的规范形为(    )

选项 A、y12+y22+4y32
B、y22—y32
C、y12—y22—y32
D、y12—y22+y32

答案B

解析 方法一:将二次型中的括号展开,并合并同类项可得
f(x1,x2,x3)=5x12+5x22—4x32+14x1x2+4x1x3—4x2x3
则该二次型矩阵为A=。由
|λE—A|==λ(λ+6)(λ—12)
可知,矩阵A的特征根为12,—6,0。因此该二次型的正惯性指数p=1,负惯性指数g=1,故选B。
方法二:配方法
f(x1,x2,x3)

可知p=1,q=1,故选B。
注意,在本题中若令

而认为该二次型的规范形是f=y12+y22—y32是不正确的,因为行列式=0,这说明线性变换(1)不是非退化的线性变换。
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