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二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(2x1+3x2+x3)2—5(x2+x3)2的规范形为( )
二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(2x1+3x2+x3)2—5(x2+x3)2的规范形为( )
admin
2018-12-29
57
问题
二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=(x
1
+x
2
)
2
+(2x
1
+3x
2
+x
3
)
2
—5(x
2
+x
3
)
2
的规范形为( )
选项
A、y
1
2
+y
2
2
+4y
3
2
B、y
2
2
—y
3
2
C、y
1
2
—y
2
2
—y
3
2
D、y
1
2
—y
2
2
+y
3
2
答案
B
解析
方法一：将二次型中的括号展开，并合并同类项可得
f(x
1
，x
2
，x
3
)=5x
1
2
+5x
2
2
—4x
3
2
+14x
1
x
2
+4x
1
x
3
—4x
2
x
3
，
则该二次型矩阵为A=
。由
｜λE—A｜=
=λ(λ+6)(λ—12)
可知，矩阵A的特征根为12，—6，0。因此该二次型的正惯性指数p=1，负惯性指数g=1，故选B。
方法二：配方法
f(x
1
，x
2
，x
3
)
可知p=1，q=1，故选B。
注意，在本题中若令
而认为该二次型的规范形是f=y
1
2
+y
2
2
—y
3
2
是不正确的，因为行列式
=0，这说明线性变换(1)不是非退化的线性变换。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/WRM4777K
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考研数学一
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