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二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(2x1+3x2+x3)2—5(x2+x3)2的规范形为( )

admin2018-12-29  25
问题 二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(2x1+3x2+x3)2—5(x2+x3)2的规范形为(    )
选项 A、y12+y22+4y32
B、y22—y32
C、y12—y22—y32
D、y12—y22+y32
答案B
解析 方法一：将二次型中的括号展开，并合并同类项可得
f(x1，x2，x3)=5x12+5x22—4x32+14x1x2+4x1x3—4x2x3，
则该二次型矩阵为A=。由
｜λE—A｜==λ(λ+6)(λ—12)
可知，矩阵A的特征根为12，—6，0。因此该二次型的正惯性指数p=1，负惯性指数g=1，故选B。
方法二：配方法
f(x1，x2，x3)

可知p=1，q=1，故选B。
注意，在本题中若令

而认为该二次型的规范形是f=y12+y22—y32是不正确的，因为行列式=0，这说明线性变换(1)不是非退化的线性变换。
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