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设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b))内可导(0≤a<b≤π/2)。证明:存在ζ,η∈(a,b),使得 。
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b))内可导(0≤a<b≤π/2)。证明:存在ζ,η∈(a,b),使得 。
admin
2021-01-31
54
问题
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b))内可导(0≤a<b≤π/2)。证明:存在ζ,η∈(a,b),使得
。
选项
答案
令g(x)=-cosX,g’(x)=sinx≠0(a<x<b), 由柯西中值定理,存在η∈(a,b),使得[fB-fA]/(cosb-cosa)=f’(η)/sinη; 令h(x)=sinx,h’(x)=cosx≠0(a<x<b), 由柯西中值定理,存在ζ∈(a,b),使得[fB-fA]/(sinb-sina)=f’(ζ)/cosζ, 从而(f’(η)/sinη)(cosa-cosb)=(f’(ζ)/cosζ)(sinb-sina) [*]
解析
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考研数学三
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