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设f(x)二阶可导,f(0)=f(1)=0且=一1.证明:存在ξ∈(0,1),使得f"(ξ)≥8.
设f(x)二阶可导,f(0)=f(1)=0且=一1.证明:存在ξ∈(0,1),使得f"(ξ)≥8.
admin
2020-03-05
17
问题
设f(x)二阶可导,f(0)=f(1)=0且
=一1.证明:存在ξ∈(0,1),使得f"(ξ)≥8.
选项
答案
因为f(x)在[0,1]上二阶可导,所以f(x)在[0,1]上连续且f(0)=f(1)=0,[*]=一1,由闭区间上连续函数最值定理知,f(x)在[0,1]取到最小值且最小值在 (0,1)内达到,即存在c∈(0,1),使得f(c)=一1,再由费马定理知f’(c)=0, 根据泰勒公式 f(0)=f(c)+f’(c)(0—c)+[*](0一c)
2
,ξ
1
∈(0,c) f(1)=f(c)+f’(c)(1一c)+[*](1一c)
2
,ξ
2
∈(c,1) 整理得 [*]
解析
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考研数学一
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