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已知P-1AP=α1是矩阵A属于特征值λ=2的特征向量,α2,α3是矩阵A属于特征值λ=6的线性无关的特征向量,那么矩阵P不能是 ( )
已知P-1AP=α1是矩阵A属于特征值λ=2的特征向量,α2,α3是矩阵A属于特征值λ=6的线性无关的特征向量,那么矩阵P不能是 ( )
admin
2019-01-14
52
问题
已知P
-1
AP=
α
1
是矩阵A属于特征值λ=2的特征向量,α
2
,α
3
是矩阵A属于特征值λ=6的线性无关的特征向量,那么矩阵P不能是 ( )
选项
A、[α
1
,-α
2
,α
3
]
B、[α
1
,α
2
+α
3
,α
2
-2α
3
]
C、[α
1
,α
3
,α
2
]
D、[α
1
+α
2
,α
1
-α
2
,α
3
]
答案
D
解析
若P
-1
AP=A=
P=[α
1
,α
2
,α
3
],则有AP=PΛ,即
A[α
1
,α
2
,α
3
]=[α
1
,α
2
,α
3
]
即 [Aα
1
,Aα
2
,Aα
3
]=[a
1
α
1
,a
2
α
2
,a
3
α
3
].
可见α
i
是矩阵A属于特征值a
i
(i=1,2,3)的特征向量,又因矩阵P可逆,因此,α
1
,α
2
,α
3
线性无关.
若α是属于特征值λ的特征向量,则-α仍是属于特征值λ的特征向量,故A正确.
若α,β是属于特征值λ的特征向量,则k
1
α+k
2
β仍是属于特征值λ的特征向量.本题中,α
2
,α
3
是属于λ=6的线性无关的特征向量,故α
2
+α
3
,α
2
-2α
3
仍是λ=6的特征向量,并且α
2
+α
3
,α
2
-2α
3
线性无关,故B正确.
关于C,因为α
2
,α
3
均是λ=6的特征向量,所以α
2
,α
2
谁在前谁在后均正确,即C正确.
由于α
1
,α
2
是不同特征值的特征向量,因此α
1
+α
2
,α
1
-α
2
不再是矩阵A的特征向量,故D错误.
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