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  3. 设η*是非齐次线性方程组Ax＝b的一个解，ξ1，，…，ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：(1)η*，ξ1，…，ξn-r线性无关；(2)η*，η*＋ξ1，…η*＋ξn-r线性无关．

设η*是非齐次线性方程组Ax＝b的一个解，ξ1，，…，ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：(1)η*，ξ1，…，ξn-r线性无关；(2)η*，η*＋ξ1，…η*＋ξn-r线性无关．

admin2020-06-05  30
问题 设η*是非齐次线性方程组Ax＝b的一个解，ξ1，，…，ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：(1)η*，ξ1，…，ξn-r线性无关；(2)η*，η*＋ξ1，…η*＋ξn-r线性无关．
选项
答案(1)设有如下关系式成立 k0η*＋k1ξ1＋…＋kn-rξn-r＝0用矩阵A左乘上式两边，并注意题设条件，得 0＝A(k0η*＋k1ξ1＋…＋kn-rξn-r)＝k0Aη*＋k1Aξ1＋…＋kn-rAξn-r＝k0b但b≠0，由上式知k0＝0，于是有 k1ξ1＋k2ξ2＋…＋kkn-rξn-r＝0因向量组ξ1，ξ2，…，ξn-r是对应齐次线性方程组的基础解系，从而它们线性无关，于是k1＝k2＝…＝kn-r＝0，由定义知η*，ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关． (2)设有如下关系式成立 k0η*＋k1(η*＋ξ1)＋…＋kn-r(η*＋ξn-r)＝0 整理可得 (k0＋k1＋…＋kn-r)η*＋k1ξ1＋…＋kn-rξn-r＝0 由(1)，向量组η*，ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关，故k1＝k2＝…＝kn-r＝0，并且k0＋k1＋…＋kn-r＝0，于是k0＝0，故向量组η*，η*＋ξ1…，η*＋ξn-r线性无关．
解析
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考研数学一

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