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求函数f(x)=(2一t)e—tdt的最大值与最小值.
求函数f(x)=(2一t)e—tdt的最大值与最小值.
admin
2017-10-23
45
问题
求函数f(x)=
(2一t)e
—t
dt的最大值与最小值.
选项
答案
由于f(x)是偶函数,我们只需考察x∈[0,+∞).由变限积分求导公式得 [*]. 从而f(x)的最大值是f(*])=∫
0
2
(2—t)e
—t
dt=一∫
0
2
(2—t)de
—t
=(t—2)e
—t
|
0
2
—∫
0
2
e
—t
dt =2+e
—t
|
0
2
=1+e
—2
. 由上述单调性分析,为求最小值,只需比较f(0)与[*]f(x)的大小.由于 [*]f(x)=∫
0
+∞
(2一t)e
—t
dt=[(t一2)e
—t
+e
—t
]|
0
+∞
=1>f(0)=0,从而f(0)=0是最小值.
解析
f(x)的定义域是(一∞,+∞),由于它是偶函数,故只需考虑x∈[0,+∞).求f’(x)和驻点并考察驻点两侧的单调性.由于需要考察f(0)是否为最值,还需求极限值
f(x).
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考研数学三
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