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  3. 求函数f(x)=(2一t)e—tdt的最大值与最小值．

求函数f(x)=(2一t)e—tdt的最大值与最小值．

admin2017-10-23  24
问题 求函数f(x)=(2一t)e—tdt的最大值与最小值．
选项
答案由于f(x)是偶函数，我们只需考察x∈[0，+∞)．由变限积分求导公式得 [*]． 从而f(x)的最大值是f(*])=∫02(2—t)e—tdt=一∫02(2—t)de—t=(t—2)e—t｜02—∫02e—tdt =2+e—t｜02=1+e—2． 由上述单调性分析，为求最小值，只需比较f(0)与[*]f(x)的大小．由于 [*]f(x)=∫0+∞(2一t)e—tdt=[(t一2)e—t+e—t]｜0+∞=1＞f(0)=0，从而f(0)=0是最小值．
解析 f(x)的定义域是(一∞，+∞)，由于它是偶函数，故只需考虑x∈[0，+∞)．求f’(x)和驻点并考察驻点两侧的单调性．由于需要考察f(0)是否为最值，还需求极限值f(x)．
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考研数学三

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