一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为3／2b时(如图)，计算油的质量。(长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为常数ρkg／m3)

admin2019-03-21 103

问题一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为3／2b时(如图)，计算油的质量。(长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为常数ρkg／m³)

选项

答案如下图，建立直角坐标系，则油罐底面椭圆方程为 [*] 图中阴影部分为油面与椭圆所围成的图形。 [*] 记S₁为下半椭圆面积，则S₁=1／2πab，记S₂是位于x轴上方阴影部分的面积，则 S₂=2a∫₀^b／2[*]dy，记y=bsint，则dy=bcostdt，于是 S₂=2ab∫₀^π／6[*]costdt=2ab∫₀^π／6cos²tdt=ab∫₀^π／6(1+cos2t)dt=ab([*])。因此，油的质量为 (S₁+S₂)lρ=(1／2πab+[*])ablρ。

解析

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考研数学二

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一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为3／2b时(如图)，计算油的质量。(长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为常数ρkg／m3)

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