2. 考研
  3. 一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为3／2b时(如图)，计算油的质量。(长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为常数ρkg／m3)

一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为3／2b时(如图)，计算油的质量。(长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为常数ρkg／m3)

admin2019-03-21  117
问题 一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为3／2b时(如图)，计算油的质量。(长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为常数ρkg／m3)
选项
答案如下图，建立直角坐标系，则油罐底面椭圆方程为 [*] 图中阴影部分为油面与椭圆所围成的图形。 [*] 记S1为下半椭圆面积，则S1=1／2πab，记S2是位于x轴上方阴影部分的面积，则 S2=2a∫0b／2[*]dy， 记y=bsint，则dy=bcostdt，于是 S2=2ab∫0π／6[*]costdt=2ab∫0π／6cos2tdt=ab∫0π／6(1+cos2t)dt=ab([*])。 因此，油的质量为 (S1+S2)lρ=(1／2πab+[*])ablρ。
解析
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考研数学二

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