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一个高为l的柱体形贮油罐,底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆。现将贮油罐平放,当油罐中油面高度为3/2b时(如图),计算油的质量。(长度单位为m,质量单位为kg,油的密度为常数ρkg/m3)
一个高为l的柱体形贮油罐,底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆。现将贮油罐平放,当油罐中油面高度为3/2b时(如图),计算油的质量。(长度单位为m,质量单位为kg,油的密度为常数ρkg/m3)
admin
2019-03-21
117
问题
一个高为l的柱体形贮油罐,底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆。现将贮油罐平放,当油罐中油面高度为3/2b时(如图),计算油的质量。(长度单位为m,质量单位为kg,油的密度为常数ρkg/m
3
)
选项
答案
如下图,建立直角坐标系,则油罐底面椭圆方程为 [*] 图中阴影部分为油面与椭圆所围成的图形。 [*] 记S
1
为下半椭圆面积,则S
1
=1/2πab,记S
2
是位于x轴上方阴影部分的面积,则 S
2
=2a∫
0
b/2
[*]dy, 记y=bsint,则dy=bcostdt,于是 S
2
=2ab∫
0
π/6
[*]costdt=2ab∫
0
π/6
cos
2
tdt=ab∫
0
π/6
(1+cos2t)dt=ab([*])。 因此,油的质量为 (S
1
+S
2
)lρ=(1/2πab+[*])ablρ。
解析
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考研数学二
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