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设数列{xn}满足0<x1<π,xn+1=sinxn(n=1,2,…)。证明存在,并求该极限。
设数列{xn}满足0<x1<π,xn+1=sinxn(n=1,2,…)。证明存在,并求该极限。
admin
2018-12-27
48
问题
设数列{x
n
}满足0<x
1
<π,x
n+1
=sinx
n
(n=1,2,…)。证明
存在,并求该极限。
选项
答案
当n=1时,0<x
1
<π; 当n=2时,0<x
2
=sinx
1
≤1<π; 假设当n=k时,0
k<π成立,则当n=k+1时,0<x
k+1
=sinx
k
≤1<π; 由数学归纳法可知,对任意的n∈N
+
,0<x
n
<π,即数列{x
n
}有界。 又因为当x>0时,sinx
n}单调递减。 根据单调有界准则可知[*]存在。记[*]在等式x
n+1
=sinx
n
两端同时取极限可得,a=sina,所以a=0,即[*]
解析
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考研数学一
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