设数列{xn}满足0<x1<π,xn+1=sinxn(n=1,2,…)。证明存在,并求该极限。

admin2018-12-27  29

问题 设数列{xn}满足0<x1<π,xn+1=sinxn(n=1,2,…)。证明存在,并求该极限。

选项

答案当n=1时,0<x1<π; 当n=2时,0<x2=sinx1≤1<π; 假设当n=k时,0k<π成立,则当n=k+1时,0<xk+1=sinxk≤1<π; 由数学归纳法可知,对任意的n∈N+,0<xn<π,即数列{xn}有界。 又因为当x>0时,sinxn}单调递减。 根据单调有界准则可知[*]存在。记[*]在等式xn+1=sinxn两端同时取极限可得,a=sina,所以a=0,即[*]

解析
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