2. 考研
  3. 设A是三阶实对称矩阵，A的特征值是λ1=1，λ2=2，λ3=－1，且 分别是λ1，λ2对应的特征向量，A的伴随矩阵A*有特征值λ0，λ0所对应的特征向量是 求a及λ0的值，并求矩阵A．

设A是三阶实对称矩阵，A的特征值是λ1=1，λ2=2，λ3=－1，且 分别是λ1，λ2对应的特征向量，A的伴随矩阵A*有特征值λ0，λ0所对应的特征向量是 求a及λ0的值，并求矩阵A．

admin2017-06-14  56
问题 设A是三阶实对称矩阵，A的特征值是λ1=1，λ2=2，λ3=－1，且

分别是λ1，λ2对应的特征向量，A的伴随矩阵A*有特征值λ0，λ0所对应的特征向量是

求a及λ0的值，并求矩阵A．
选项
答案由题设有A*β=λ0β，于是AA*β=λ0Aβ，而AA*= ｜A｜E，从而有Aβ=[*] 的特征向量． 又α1，α2是实对称矩阵A属于不同特征值λ1，λ2的特征向量，必正交，即有α1Tα2=a－1－a(a+1)+2=0，解得a=±1． 设 [*] 为A的对应于λ3=－1的特征向量，由A是实对称矩阵知，α3与α1，α2均蒸饺，即 [*] 解得 [*] 由于β也为A的特征向量，应与α1，α2，α3中某一个成比例，显然不成立，故a=1不合题意． 当a=－1时，方程组为 [*] 解得 [*] β与α3成比例，可见β也是A对应于特征值λ3=－1的特征向量，且有 [*] 故a=－1，λ0=2． 由Aαi=λiαi(i=1，2，3)，有A[α1，α2，α3]=[λ1α1，λ2α2，λ3α3]，于是 A=[λ1α1，λ2α2，λ3α3][α1，α2，α3]－1 [*]
解析
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考研数学一

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