用正交变换法化二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋χ22＋χ32－4χ1χ2－4χ1χ3－4χ2χ3为标准二次型．

admin2021-11-09 61

问题用正交变换法化二次型f(χ₁，χ₂，χ₃)＝χ₁²＋χ₂²＋χ₃²－4χ₁χ₂－4χ₁χ₃－4χ₂χ₃为标准二次型．

选项

答案f(χ₁，χ₂，χ₃)＝X^TAX，其中X＝[*] 由｜λE－A｜＝[*]＝(λ＋3)(λ＋3)²＝0得λ₁＝－3，λ₂＝λ₃＝3．由(－3E－A)X＝0得λ₁＝－3对应的线性无关的特征向量为α₁＝[*]；由(3E－A)X＝0得λ₂＝λ₃＝3对应的线性无关的特征向量为 [*] 将α₁，α₂正交化得 [*] 则f(χ₁，χ₂，χ₃)＝X^TAX[*]Y^T(Q^TAQ)Y＝－3y₁²＋3y₂²＋3y₃²．

解析

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考研数学二

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设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点（x,y)处的曲率为,又此曲线上的点（0,1）处的切线方程为y=x+1,求该曲线方程，并求出函数y(x)的极值。
设A是m×n矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)==r＜n.证明：方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n-r+1个。
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