2. 考研
  3. (1)设n元实二次型f(x1，x2，…，x3)=xTAx，其中A又特征值λ1，λ2，…，λn，且满足λ1≤λ2≤…≤λn． 证明对任何n维列向量x，有 λ1xTx≤λ2xTx≤…≤λnxTx． (2)设f(x1，x2，x3)=(x1，x2，x3)=xTAx

(1)设n元实二次型f(x1，x2，…，x3)=xTAx，其中A又特征值λ1，λ2，…，λn，且满足λ1≤λ2≤…≤λn． 证明对任何n维列向量x，有 λ1xTx≤λ2xTx≤…≤λnxTx． (2)设f(x1，x2，x3)=(x1，x2，x3)=xTAx

admin2020-02-28  95
问题 (1)设n元实二次型f(x1，x2，…，x3)=xTAx，其中A又特征值λ1，λ2，…，λn，且满足λ1≤λ2≤…≤λn．
证明对任何n维列向量x，有
λ1xTx≤λ2xTx≤…≤λnxTx．
(2)设f(x1，x2，x3)=(x1，x2，x3)=xTAx，当x12+ x22+ x32=1时，求f(x1，x2，x3)的最大值．
选项
答案(1)f(x1，x2，…，x3)是实二次型，有正交变换x=Qy，其中Q是正交矩阵，使得 [*] 因λ1≤λ2…≤λn，故得 λ1(y12+y22+…+ yn2)≤λ1y12+λ2y22+…+λnyn2≤λn(y12+y22+…+ yn2)． 因x=Qy，其中Q是正交阵，QTQ=E，故 xTx=(Qy)TQy=yTQTQy= yTy， 故有λ1xTx≤xTAx≤λn xTx． (2)[*] A有特征值λ1=0<λ2=4<λ3=9． 由上一题知，当x12+x22+ x32= xTx=1时，对任何x，有 f(x1，x2，x3)=xTx≤λ3 xTx=9． 即此时f(x1，x2，x3)的最大值为9．
解析
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考研数学二

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