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(1)设n元实二次型f(x1,x2,…,x3)=xTAx,其中A又特征值λ1,λ2,…,λn,且满足λ1≤λ2≤…≤λn. 证明对任何n维列向量x,有 λ1xTx≤λ2xTx≤…≤λnxTx. (2)设f(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3)=xTAx
(1)设n元实二次型f(x1,x2,…,x3)=xTAx,其中A又特征值λ1,λ2,…,λn,且满足λ1≤λ2≤…≤λn. 证明对任何n维列向量x,有 λ1xTx≤λ2xTx≤…≤λnxTx. (2)设f(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3)=xTAx
admin
2020-02-28
108
问题
(1)设n元实二次型f(x
1
,x
2
,…,x
3
)=x
T
Ax,其中A又特征值λ
1
,λ
2
,…,λ
n
,且满足λ
1
≤λ
2
≤…≤λ
n
.
证明对任何n维列向量x,有
λ
1
x
T
x≤λ
2
x
T
x≤…≤λ
n
x
T
x.
(2)设f(x
1
,x
2
,x
3
)=(x
1
,x
2
,x
3
)
=x
T
Ax,当x
1
2
+ x
2
2
+ x
3
2
=1时,求f(x
1
,x
2
,x
3
)的最大值.
选项
答案
(1)f(x
1
,x
2
,…,x
3
)是实二次型,有正交变换x=Qy,其中Q是正交矩阵,使得 [*] 因λ
1
≤λ
2
…≤λ
n
,故得 λ
1
(y
1
2
+y
2
2
+…+ y
n
2
)≤λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
+…+λ
n
y
n
2
≤λ
n
(y
1
2
+y
2
2
+…+ y
n
2
). 因x=Qy,其中Q是正交阵,Q
T
Q=E,故 x
T
x=(Qy)
T
Qy=y
T
Q
T
Qy= y
T
y, 故有λ
1
x
T
x≤x
T
Ax≤λ
n
x
T
x. (2)[*] A有特征值λ
1
=0<λ
2
=4<λ
3
=9. 由上一题知,当x
1
2
+x
2
2
+ x
3
2
= x
T
x=1时,对任何x,有 f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
x≤λ
3
x
T
x=9. 即此时f(x
1
,x
2
,x
3
)的最大值为9.
解析
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考研数学二
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