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(1)设n元实二次型f(x1，x2，…，x3)=xTAx，其中A又特征值λ1，λ2，…，λn，且满足λ1≤λ2≤…≤λn． 证明对任何n维列向量x，有 λ1xTx≤λ2xTx≤…≤λnxTx． (2)设f(x1，x2，x3)=(x1，x2，x3)=xTAx
(1)设n元实二次型f(x1，x2，…，x3)=xTAx，其中A又特征值λ1，λ2，…，λn，且满足λ1≤λ2≤…≤λn． 证明对任何n维列向量x，有 λ1xTx≤λ2xTx≤…≤λnxTx． (2)设f(x1，x2，x3)=(x1，x2，x3)=xTAx
admin
2020-02-28
53
问题
(1)设n元实二次型f(x
1
，x
2
，…，x
3
)=x
T
Ax，其中A又特征值λ
1
，λ
2
，…，λ
n
，且满足λ
1
≤λ
2
≤…≤λ
n
．
证明对任何n维列向量x，有
λ
1
x
T
x≤λ
2
x
T
x≤…≤λ
n
x
T
x．
(2)设f(x
1
，x
2
，x
3
)=(x
1
，x
2
，x
3
)
=x
T
Ax，当x
1
2
+ x
2
2
+ x
3
2
=1时，求f(x
1
，x
2
，x
3
)的最大值．
选项
答案
(1)f(x
1
，x
2
，…，x
3
)是实二次型，有正交变换x=Qy，其中Q是正交矩阵，使得 [*] 因λ
1
≤λ
2
…≤λ
n
，故得 λ
1
(y
1
2
+y
2
2
+…+ y
n
2
)≤λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
+…+λ
n
y
n
2
≤λ
n
(y
1
2
+y
2
2
+…+ y
n
2
)． 因x=Qy，其中Q是正交阵，Q
T
Q=E，故 x
T
x=(Qy)
T
Qy=y
T
Q
T
Qy= y
T
y， 故有λ
1
x
T
x≤x
T
Ax≤λ
n
x
T
x． (2)[*] A有特征值λ
1
=0<λ
2
=4<λ
3
=9． 由上一题知，当x
1
2
+x
2
2
+ x
3
2
= x
T
x=1时，对任何x，有 f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
x≤λ
3
x
T
x=9． 即此时f(x
1
，x
2
，x
3
)的最大值为9．
解析
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考研数学二
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