(1)设n元实二次型f(x1，x2，…，x3)=xTAx，其中A又特征值λ1，λ2，…，λn，且满足λ1≤λ2≤…≤λn．证明对任何n维列向量x，有 λ1xTx≤λ2xTx≤…≤λnxTx． (2)设f(x1，x2，x3)=(x1，x2，x3)=xTAx

admin2020-02-28 97

问题 (1)设n元实二次型f(x₁，x₂，…，x₃)=x^TAx，其中A又特征值λ₁，λ₂，…，λ_n，且满足λ₁≤λ₂≤…≤λ_n．
证明对任何n维列向量x，有
λ₁x^Tx≤λ₂x^Tx≤…≤λ_nx^Tx．
(2)设f(x₁，x₂，x₃)=(x₁，x₂，x₃)

=x^TAx，当x₁²+ x₂²+ x₃²=1时，求f(x₁，x₂，x₃)的最大值．

选项

答案(1)f(x₁，x₂，…，x₃)是实二次型，有正交变换x=Qy，其中Q是正交矩阵，使得 [*] 因λ₁≤λ₂…≤λ_n，故得 λ₁(y₁²+y₂²+…+ y_n²)≤λ₁y₁²+λ₂y₂²+…+λ_ny_n²≤λ_n(y₁²+y₂²+…+ y_n²)．因x=Qy，其中Q是正交阵，Q^TQ=E，故 x^Tx=(Qy)^TQy=y^TQ^TQy= y^Ty，故有λ₁x^Tx≤x^TAx≤λ_n x^Tx． (2)[*] A有特征值λ₁=0<λ₂=4<λ₃=9．由上一题知，当x₁²+x₂²+ x₃²= x^Tx=1时，对任何x，有 f(x₁，x₂，x₃)=x^Tx≤λ₃ x^Tx=9．即此时f(x₁，x₂，x₃)的最大值为9．

解析

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考研数学二

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(1)设n元实二次型f(x1，x2，…，x3)=xTAx，其中A又特征值λ1，λ2，…，λn，且满足λ1≤λ2≤…≤λn．证明对任何n维列向量x，有 λ1xTx≤λ2xTx≤…≤λnxTx． (2)设f(x1，x2，x3)=(x1，x2，x3)=xTAx

考研数学二

设f(x)在[a，b]上可导，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f’(a)．f’(b)＞0．试证：1)ξ∈(a，b)，使f(ξ)=0．2)η∈(a，b)，使f"(η)=f(η)．

设为A的特征向量．(1)求a，b及A的所有特征值与特征向量．(2)A可否对角化?若可对角化，求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．

二次型f(χ1，χ2，χ3)＝aχ12＋aχ22＋(a－1)χ32＋2χ1χ3－2χ2χ3．①求f(χ1，χ2，χ3)的矩阵的特征值．②如果f(χ1，χ2，χ3)的规范形为y12＋y22，求a．

设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(一1，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。求矩阵A的特征值与特征向量；

设A，B为n阶矩阵．(1)是否有AB～BA；(2)若A有特征值1，2，…，n，证明：AB～BA．

设y=y(x)，z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x，y，z)=0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求

设有微分方程y’-2y=φ(x)，其中φ(x)=，在(-∞，+∞)求连续函数y(x)，使其在(-∞，1)及(1，+∞)内都满足所给的方程，且满足条件y(0)=0．

设f(x)为连续函数，且F(x)=f(t)dt，则F’(x)=___________．

设p(x)，q(x)与f(x)均为连续函数，f(x)≠0．设y1(x)，y2(x)与y3(x)是二阶线性非齐次方程y"+p(x)y’+q(x)y=f(x)①的3个解，且则式①的通解为_______

求二元函数z=f(x，y)=x2y(4一x一y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭合区域D上的极值、最大值与最小值．

确切的检查输卵管病变的方法是()

患儿，男，7岁。跌倒，手掌着地后，右肘部痛，不敢活动右上肢2天入院。查体：右肘向后突出处于半屈曲位。前臂、肘部肿胀严重，水疱形成，肘后三角关系正常。局部压痛明显，右桡动脉搏动稍弱。治疗方法

慢性支气管炎诊断时排除其他心肺疾病后，在病程方面的规定是()

引起钢材疲劳破坏的因素有哪些?Ⅰ．钢材强度Ⅱ．承受的荷载成周期性变化Ⅲ．钢材的外部形状尺寸突变Ⅳ．材料不均匀

()雨凇被誉为“玻璃世界”。

属于分析物料特征有()。(1)单位数量；(2)单位重量；(3)形态；(4)类型；(5)一致性。

下列政府举措中，不能够直接促进城镇居民人均可支配收入增长的是：()

对年轻消费者而言，来自同龄人的压力通常比任何程度的政府干涉影响更大。(haveimpacton)

A、Theywillreceivethelettersfromthestudents.B、Theywillorganizetheclasses.C、Theywillguidethestudies.D、Theywill

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考研数学二

设f(x)在[a，b]上可导，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f’(a)．f’(b)＞0．试证：1)ξ∈(a，b)，使f(ξ)=0．2)η∈(a，b)，使f"(η)=f(η)．

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设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(一1，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。求矩阵A的特征值与特征向量；

设A，B为n阶矩阵．(1)是否有AB～BA；(2)若A有特征值1，2，…，n，证明：AB～BA．

设y=y(x)，z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x，y，z)=0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求

设有微分方程y’-2y=φ(x)，其中φ(x)=，在(-∞，+∞)求连续函数y(x)，使其在(-∞，1)及(1，+∞)内都满足所给的方程，且满足条件y(0)=0．

设f(x)为连续函数，且F(x)=f(t)dt，则F’(x)=___________．

设p(x)，q(x)与f(x)均为连续函数，f(x)≠0．设y1(x)，y2(x)与y3(x)是二阶线性非齐次方程y"+p(x)y’+q(x)y=f(x)①的3个解，且则式①的通解为_______

求二元函数z=f(x，y)=x2y(4一x一y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭合区域D上的极值、最大值与最小值．

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()雨凇被誉为“玻璃世界”。

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下列政府举措中，不能够直接促进城镇居民人均可支配收入增长的是：()

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