(1)设n元实二次型f(x1,x2,…,x3)=xTAx,其中A又特征值λ1,λ2,…,λn,且满足λ1≤λ2≤…≤λn. 证明对任何n维列向量x,有 λ1xTx≤λ2xTx≤…≤λnxTx. (2)设f(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3)=xTAx

admin2020-02-28  37

问题 (1)设n元实二次型f(x1,x2,…,x3)=xTAx,其中A又特征值λ1,λ2,…,λn,且满足λ1≤λ2≤…≤λn
证明对任何n维列向量x,有
λ1xTx≤λ2xTx≤…≤λnxTx.
(2)设f(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3)=xTAx,当x12+ x22+ x32=1时,求f(x1,x2,x3)的最大值.

选项

答案(1)f(x1,x2,…,x3)是实二次型,有正交变换x=Qy,其中Q是正交矩阵,使得 [*] 因λ1≤λ2…≤λn,故得 λ1(y12+y22+…+ yn2)≤λ1y122y22+…+λnyn2≤λn(y12+y22+…+ yn2). 因x=Qy,其中Q是正交阵,QTQ=E,故 xTx=(Qy)TQy=yTQTQy= yTy, 故有λ1xTx≤xTAx≤λn xTx. (2)[*] A有特征值λ1=0<λ2=4<λ3=9. 由上一题知,当x12+x22+ x32= xTx=1时,对任何x,有 f(x1,x2,x3)=xTx≤λ3 xTx=9. 即此时f(x1,x2,x3)的最大值为9.

解析
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