设α，β为n维非零列向量，且线性相关，αTα=2，若(αβT)2=2βαT，具体给出两向量间的线性关系．

admin2021-07-27 45

问题设α，β为n维非零列向量，且线性相关，α^Tα=2，若(αβ^T)²=2βα^T，具体给出两向量间的线性关系．

选项

答案依题设，α，β线性相关，即两向量成比例，设比例系数为k，使得β=αk(k≠0)，从而有(αβ^T)²=(αβ^T)αβ^T=[α(kα)^T]α(kα)^T=k²(α^Tα)αα^T=2k²αα^T，而βα^T=kαα^T，从而有2k²αα^T=2kαα^T，即2k(k-1)αα^T=0．又由于r(αα^T)=1，αα^T≠0，故有2k(k-1)=0，解得k=1，因此，β=α．

解析

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