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设α,β为n维非零列向量,且线性相关,αTα=2,若(αβT)2=2βαT,具体给出两向量间的线性关系.
设α,β为n维非零列向量,且线性相关,αTα=2,若(αβT)2=2βαT,具体给出两向量间的线性关系.
admin
2021-07-27
57
问题
设α,β为n维非零列向量,且线性相关,α
T
α=2,若(αβ
T
)
2
=2βα
T
,具体给出两向量间的线性关系.
选项
答案
依题设,α,β线性相关,即两向量成比例,设比例系数为k,使得β=αk(k≠0),从而有(αβ
T
)
2
=(αβ
T
)αβ
T
=[α(kα)
T
]α(kα)
T
=k
2
(α
T
α)αα
T
=2k
2
αα
T
,而βα
T
=kαα
T
,从而有2k
2
αα
T
=2kαα
T
,即2k(k-1)αα
T
=0.又由于r(αα
T
)=1,αα
T
≠0,故有2k(k-1)=0,解得k=1,因此,β=α.
解析
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考研数学二
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