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设f(x)在[0,1]上二阶可导,f(1)=1,且,证明:存在ξ∈(0,1),使得f"(ξ)一2f’(ξ)+2=0.
设f(x)在[0,1]上二阶可导,f(1)=1,且,证明:存在ξ∈(0,1),使得f"(ξ)一2f’(ξ)+2=0.
admin
2019-08-23
45
问题
设f(x)在[0,1]上二阶可导,f(1)=1,且
,证明:存在ξ∈(0,1),使得f"(ξ)一2f’(ξ)+2=0.
选项
答案
由[*]=1得f(0)=0,f’(0)=1, 由拉格朗日中值定理,存在c∈(0,1),使得f’(c)=[*] 令φ(x)=e
-2x
[f’(x)一1], 由f’(0)=f’(c)=1得φ(0)=φ(c)=0, 由罗尔定理,存在ξ∈(0,c)[*](0,1),使得φ’(ξ)=0, 而φ’(x)=一2e
-2x
[f’(x)一1]+e
-2x
f"(x)=e
-2x
[f"(x)一2f’(x)+2],因为e
-2x
≠0,所以f"(ξ)一2f’(ξ)+2=0.
解析
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考研数学一
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