已知m个向量α1，…，αm线性相关，但其中任意m—1个向量都线性无关，证明：如果等式k1α1+…+kmαm=0成立，则系数k1，… ，km或者全为零，或者全不为零。

admin2018-12-29 18

问题已知m个向量α₁，…，α_m线性相关，但其中任意m—1个向量都线性无关，证明：
如果等式k₁α₁+…+k_mα_m=0成立，则系数k₁，… ，k_m或者全为零，或者全不为零。

选项

答案假设存在某个k_i=0，则由k₁α₁+ … +k_mα_m=0可得 k₁α₁+ … +k_i—1α_i—1+k_i+1α_i+1+ … +k_mα_m=0。 (1) 因为任意m—1个向量都线性无关，所以必有k₁= … =k_i—1=k_i+1= … =k_m=0，即系数k₁，…，k_m全为零。所以系数k₁，…，k_m或者全为零，或者全不为零。

解析

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