2. 考研
  3. 设n维向量α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，证明：n维向量β1，β2，…，βm线性无关的 充要条件是矩阵A=(α1，α2，…，αm)与矩阵B=(β1，β2，…，βm)等价． 55．设A是m×n矩阵，B是n×l矩阵，证明：方程组ABX=0和BX=0是

设n维向量α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，证明：n维向量β1，β2，…，βm线性无关的 充要条件是矩阵A=(α1，α2，…，αm)与矩阵B=(β1，β2，…，βm)等价． 55．设A是m×n矩阵，B是n×l矩阵，证明：方程组ABX=0和BX=0是

admin2017-06-14  29
问题 设n维向量α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，证明：n维向量β1，β2，…，βm线性无关的
充要条件是矩阵A=(α1，α2，…，αm)与矩阵B=(β1，β2，…，βm)等价．
55．设A是m×n矩阵，B是n×l矩阵，证明：方程组ABX=0和BX=0是同解方程组的充要条件是r(AB)=r(B)．
选项
答案必要性．若β1，β2，…，βm线性无关，则r(α1，α2，…，αm)=r(β1，β2，…，βm)=m． 由于矩阵的秩就是其列向量组的秩，所以r(A)=r(B)，又A与B均为n×m矩阵，故A与B等价． 充分性．若A与B等价，则r(A)=r(B)，因为α1，α2，…，αm线性无关，有r(A)=m． 于是r(β1，β2，…，βm)=m，所以β1，β2，…，βm线性无关． 13题中的条件仅为充分条件，而非必要条件，如 [*] 与α1，α2不等价，但β1，β2线性无关． 向量组的等价与矩阵的等价是两个不同的概念．前者表明两个向量组可以互相线性表出，而后者是经初等变换可由一个矩阵变成另一个矩阵．当两个向量组的向量个数－样时，由向量组的等价可得矩阵(α1，α2，…，αm)与(β1，β2，…，βm)等价，但矩阵的等价推不出向量组等价．
解析
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考研数学一

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