设n维向量α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，证明：n维向量β1，β2，…，βm线性无关的充要条件是矩阵A=(α1，α2，…，αm)与矩阵B=(β1，β2，…，βm)等价． 55．设A是m×n矩阵，B是n×l矩阵，证明：方程组ABX=0和BX=0是

admin2017-06-14 69

问题设n维向量α₁，α₂，…，α_m(m＜n)线性无关，证明：n维向量β₁，β₂，…，β_m线性无关的
充要条件是矩阵A=(α₁，α₂，…，α_m)与矩阵B=(β₁，β₂，…，β_m)等价．
55．设A是m×n矩阵，B是n×l矩阵，证明：方程组ABX=0和BX=0是同解方程组的充要条件是r(AB)=r(B)．

选项

答案必要性．若β₁，β₂，…，β_m线性无关，则r(α₁，α₂，…，α_m)=r(β₁，β₂，…，β_m)=m．由于矩阵的秩就是其列向量组的秩，所以r(A)=r(B)，又A与B均为n×m矩阵，故A与B等价．充分性．若A与B等价，则r(A)=r(B)，因为α₁，α₂，…，α_m线性无关，有r(A)=m．于是r(β₁，β₂，…，β_m)=m，所以β₁，β₂，…，β_m线性无关． 13题中的条件仅为充分条件，而非必要条件，如 [*] 与α₁，α₂不等价，但β₁，β₂线性无关．向量组的等价与矩阵的等价是两个不同的概念．前者表明两个向量组可以互相线性表出，而后者是经初等变换可由一个矩阵变成另一个矩阵．当两个向量组的向量个数－样时，由向量组的等价可得矩阵(α₁，α₂，…，α_m)与(β₁，β₂，…，β_m)等价，但矩阵的等价推不出向量组等价．

解析

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考研数学一

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设n维向量α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，证明：n维向量β1，β2，…，βm线性无关的充要条件是矩阵A=(α1，α2，…，αm)与矩阵B=(β1，β2，…，βm)等价． 55．设A是m×n矩阵，B是n×l矩阵，证明：方程组ABX=0和BX=0是

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设α1=(2，-1，0，5)，α2=(-4，-2，3，0)，α3=(-1，0，1，k)，α4=(-1，0，2，1)，则k=________时，α1，α2，α3，α4线性相关．

设n元线性方程组Ax=b，其中当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1；

已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解．求a,b的值及方稗组的通解．

设向量α=(α1，α2，…，αn)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT．A2；

已知向量组(I)：α1，α2，α3；(II)：α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α5．如果各向量组的秩分别为r(I)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4．证明向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4．

设数列{an}满足条件：a0=3,a1=1,an-2-n(n-1)an=0(n≥2),S(x)是幂级数的和函数。证明：S"(X)-S(X)=0；

设A为3阶矩阵，a1，a2为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量a3满足Aa3=a2+a3，(Ⅰ)证明a1，a2，a3线性无关；(Ⅱ)令P=(a1，a2，a3)，求P-1AP．

如果0＜β＜α＜π/2，证明

已知矩阵和试判断矩阵A和刀是否相似，若相似则求出可逆矩阵P，使P-1AP=B，若不相似则说明理由．

任何单位或个人对事故隐患或者安全生产违法行为，有权向负有安全生产监督管理职责的部门报告或举报。

最可能出现异常的结果是应用何种药物治疗

关于需求价格弹性和需求价格弹性系数的要点叙述错误的是()。

最早提出著名的遗忘曲线的心理学家是艾宾浩斯。()

既允许字段中出现重复值，又允许索引项中出现重复值的是()。

TheJapanesedesireformarriagehadbeenverystrong,inthefifth"worldyouthattitudesurvey"【C1】______bytheManagementand

Itwasasaphysicianthathepresentedhimself,and______hewaswarmlyreceived.

Oldpeoplearealwayssayingthattheyoungarenotwhattheywere.Thesamecommentismadefromgenerationtogenerationandi

设n维向量α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，证明：n维向量β1，β2，…，βm线性无关的 充要条件是矩阵A=(α1，α2，…，αm)与矩阵B=(β1，β2，…，βm)等价． 55．设A是m×n矩阵，B是n×l矩阵，证明：方程组ABX=0和BX=0是

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设n元线性方程组Ax=b，其中当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1；

已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解．求a,b的值及方稗组的通解．

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设A为3阶矩阵，a1，a2为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量a3满足Aa3=a2+a3，(Ⅰ)证明a1，a2，a3线性无关；(Ⅱ)令P=(a1，a2，a3)，求P-1AP．

如果0＜β＜α＜π/2，证明

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任何单位或个人对事故隐患或者安全生产违法行为，有权向负有安全生产监督管理职责的部门报告或举报。

最可能出现异常的结果是应用何种药物治疗

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设n维向量α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，证明：n维向量β1，β2，…，βm线性无关的充要条件是矩阵A=(α1，α2，…，αm)与矩阵B=(β1，β2，…，βm)等价． 55．设A是m×n矩阵，B是n×l矩阵，证明：方程组ABX=0和BX=0是