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设n维向量α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，证明：n维向量β1，β2，…，βm线性无关的 充要条件是矩阵A=(α1，α2，…，αm)与矩阵B=(β1，β2，…，βm)等价． 55．设A是m×n矩阵，B是n×l矩阵，证明：方程组ABX=0和BX=0是
设n维向量α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，证明：n维向量β1，β2，…，βm线性无关的 充要条件是矩阵A=(α1，α2，…，αm)与矩阵B=(β1，β2，…，βm)等价． 55．设A是m×n矩阵，B是n×l矩阵，证明：方程组ABX=0和BX=0是
admin
2017-06-14
48
问题
设n维向量α
1
，α
2
，…，α
m
(m＜n)线性无关，证明：n维向量β
1
，β
2
，…，β
m
线性无关的
充要条件是矩阵A=(α
1
，α
2
，…，α
m
)与矩阵B=(β
1
，β
2
，…，β
m
)等价．
55．设A是m×n矩阵，B是n×l矩阵，证明：方程组ABX=0和BX=0是同解方程组的充要条件是r(AB)=r(B)．
选项
答案
必要性．若β
1
，β
2
，…，β
m
线性无关，则r(α
1
，α
2
，…，α
m
)=r(β
1
，β
2
，…，β
m
)=m． 由于矩阵的秩就是其列向量组的秩，所以r(A)=r(B)，又A与B均为n×m矩阵，故A与B等价． 充分性．若A与B等价，则r(A)=r(B)，因为α
1
，α
2
，…，α
m
线性无关，有r(A)=m． 于是r(β
1
，β
2
，…，β
m
)=m，所以β
1
，β
2
，…，β
m
线性无关． 13题中的条件仅为充分条件，而非必要条件，如 [*] 与α
1
，α
2
不等价，但β
1
，β
2
线性无关． 向量组的等价与矩阵的等价是两个不同的概念．前者表明两个向量组可以互相线性表出，而后者是经初等变换可由一个矩阵变成另一个矩阵．当两个向量组的向量个数－样时，由向量组的等价可得矩阵(α
1
，α
2
，…，α
m
)与(β
1
，β
2
，…，β
m
)等价，但矩阵的等价推不出向量组等价．
解析
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考研数学一
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