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设n维向量α1,α2,…,αm(m<n)线性无关,证明:n维向量β1,β2,…,βm线性无关的 充要条件是矩阵A=(α1,α2,…,αm)与矩阵B=(β1,β2,…,βm)等价. 55.设A是m×n矩阵,B是n×l矩阵,证明:方程组ABX=0和BX=0是
设n维向量α1,α2,…,αm(m<n)线性无关,证明:n维向量β1,β2,…,βm线性无关的 充要条件是矩阵A=(α1,α2,…,αm)与矩阵B=(β1,β2,…,βm)等价. 55.设A是m×n矩阵,B是n×l矩阵,证明:方程组ABX=0和BX=0是
admin
2017-06-14
54
问题
设n维向量α
1
,α
2
,…,α
m
(m<n)线性无关,证明:n维向量β
1
,β
2
,…,β
m
线性无关的
充要条件是矩阵A=(α
1
,α
2
,…,α
m
)与矩阵B=(β
1
,β
2
,…,β
m
)等价.
55.设A是m×n矩阵,B是n×l矩阵,证明:方程组ABX=0和BX=0是同解方程组的充要条件是r(AB)=r(B).
选项
答案
必要性.若β
1
,β
2
,…,β
m
线性无关,则r(α
1
,α
2
,…,α
m
)=r(β
1
,β
2
,…,β
m
)=m. 由于矩阵的秩就是其列向量组的秩,所以r(A)=r(B),又A与B均为n×m矩阵,故A与B等价. 充分性.若A与B等价,则r(A)=r(B),因为α
1
,α
2
,…,α
m
线性无关,有r(A)=m. 于是r(β
1
,β
2
,…,β
m
)=m,所以β
1
,β
2
,…,β
m
线性无关. 13题中的条件仅为充分条件,而非必要条件,如 [*] 与α
1
,α
2
不等价,但β
1
,β
2
线性无关. 向量组的等价与矩阵的等价是两个不同的概念.前者表明两个向量组可以互相线性表出,而后者是经初等变换可由一个矩阵变成另一个矩阵.当两个向量组的向量个数-样时,由向量组的等价可得矩阵(α
1
,α
2
,…,α
m
)与(β
1
,β
2
,…,β
m
)等价,但矩阵的等价推不出向量组等价.
解析
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考研数学一
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