设n维向量α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，证明：n维向量β1，β2，…，βm线性无关的充要条件是矩阵A=(α1，α2，…，αm)与矩阵B=(β1，β2，…，βm)等价． 55．设A是m×n矩阵，B是n×l矩阵，证明：方程组ABX=0和BX=0是

admin2017-06-14 32

问题设n维向量α₁，α₂，…，α_m(m＜n)线性无关，证明：n维向量β₁，β₂，…，β_m线性无关的
充要条件是矩阵A=(α₁，α₂，…，α_m)与矩阵B=(β₁，β₂，…，β_m)等价．
55．设A是m×n矩阵，B是n×l矩阵，证明：方程组ABX=0和BX=0是同解方程组的充要条件是r(AB)=r(B)．

选项

答案必要性．若β₁，β₂，…，β_m线性无关，则r(α₁，α₂，…，α_m)=r(β₁，β₂，…，β_m)=m．由于矩阵的秩就是其列向量组的秩，所以r(A)=r(B)，又A与B均为n×m矩阵，故A与B等价．充分性．若A与B等价，则r(A)=r(B)，因为α₁，α₂，…，α_m线性无关，有r(A)=m．于是r(β₁，β₂，…，β_m)=m，所以β₁，β₂，…，β_m线性无关． 13题中的条件仅为充分条件，而非必要条件，如 [*] 与α₁，α₂不等价，但β₁，β₂线性无关．向量组的等价与矩阵的等价是两个不同的概念．前者表明两个向量组可以互相线性表出，而后者是经初等变换可由一个矩阵变成另一个矩阵．当两个向量组的向量个数－样时，由向量组的等价可得矩阵(α₁，α₂，…，α_m)与(β₁，β₂，…，β_m)等价，但矩阵的等价推不出向量组等价．

解析

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设n维向量α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，证明：n维向量β1，β2，…，βm线性无关的充要条件是矩阵A=(α1，α2，…，αm)与矩阵B=(β1，β2，…，βm)等价． 55．设A是m×n矩阵，B是n×l矩阵，证明：方程组ABX=0和BX=0是

考研数学一

当k=________时，向量β=(1，k，5)能由向量α1=(1，-3，2)，α2=(2，-1，1)线性表示．

微分方程xy’+2y=xlnx满足y(1)=-1/9的解为__________.

设对(I)中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．

设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是

设数列{an}满足条件：a0=3,a1=1,an-2-n(n-1)an=0(n≥2),S(x)是幂级数的和函数。证明：S"(X)-S(X)=0；

设f(x)，ψ(x)，ψ(x)是(－∞，+∞)内的单调增函数，证明：若ψ(x)≤f(x)≤ψ(x)，则ψ(ψ(x))≤f(f(x))≤ψ(ψ(x))

k为何值时，线性方程组有唯一解、无解、有无穷多组解?在有解的情况下，求出其全部解．

(2007年试题，24)设总体X的概率密度为X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，是样本均值．判断是否为θ2的无偏估计量，并说明理由．

设二维随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)｜0≤y≤1，y≤x≤y+1}上服从均匀分布，令Z=X—Y，求X与Y的边缘概率密度函数并判断随机变量X与y的独立性；

设函数y=y(x)由方程ylny－x＋y＝0确定，判断曲线y＝y(x)在点(1，1)附近的凹凸性．

下列关于骨折愈合的描述中，错误的是

建设工程实行工程合同制度的法律依据是1999年10月1日起正式施行的()。

根据《危险化学品安全管理条例》，生产危险化学品的，应当在危险化学品的包装内附有与危险化学品完全一致的化学品()，并在包装（包括外包装件）上加贴或者拴挂与包装内危险化学品完全一致的化学品()。

下列检查中，不属于项目专项检查的是()。

1，2，3，7，23，164，()

根据以下资料，回答问题。2008一2012年，以下险种中，参保比例持续递增的是：

长江水系中流域面积最大的支流是()。

改正下列错别字饮鸠止渴(对外经济贸易大学2016)

设n维向量α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，证明：n维向量β1，β2，…，βm线性无关的 充要条件是矩阵A=(α1，α2，…，αm)与矩阵B=(β1，β2，…，βm)等价． 55．设A是m×n矩阵，B是n×l矩阵，证明：方程组ABX=0和BX=0是

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微分方程xy’+2y=xlnx满足y(1)=-1/9的解为__________.

设对(I)中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．

设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是

设数列{an}满足条件：a0=3,a1=1,an-2-n(n-1)an=0(n≥2),S(x)是幂级数的和函数。证明：S"(X)-S(X)=0；

设f(x)，ψ(x)，ψ(x)是(－∞，+∞)内的单调增函数，证明：若ψ(x)≤f(x)≤ψ(x)，则ψ(ψ(x))≤f(f(x))≤ψ(ψ(x))

k为何值时，线性方程组有唯一解、无解、有无穷多组解?在有解的情况下，求出其全部解．

(2007年试题，24)设总体X的概率密度为X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，是样本均值．判断是否为θ2的无偏估计量，并说明理由．

设二维随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)｜0≤y≤1，y≤x≤y+1}上服从均匀分布，令Z=X—Y，求X与Y的边缘概率密度函数并判断随机变量X与y的独立性；

设函数y=y(x)由方程ylny－x＋y＝0确定，判断曲线y＝y(x)在点(1，1)附近的凹凸性．

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建设工程实行工程合同制度的法律依据是1999年10月1日起正式施行的()。

根据《危险化学品安全管理条例》，生产危险化学品的，应当在危险化学品的包装内附有与危险化学品完全一致的化学品()，并在包装（包括外包装件）上加贴或者拴挂与包装内危险化学品完全一致的化学品()。

下列检查中，不属于项目专项检查的是()。

1，2，3，7，23，164，()

根据以下资料，回答问题。2008一2012年，以下险种中，参保比例持续递增的是：

长江水系中流域面积最大的支流是()。

改正下列错别字饮鸠止渴(对外经济贸易大学2016)

设n维向量α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，证明：n维向量β1，β2，…，βm线性无关的充要条件是矩阵A=(α1，α2，…，αm)与矩阵B=(β1，β2，…，βm)等价． 55．设A是m×n矩阵，B是n×l矩阵，证明：方程组ABX=0和BX=0是