2. 考研
  3. 设g(x)在[a，b]连续，f(x)在[a，b]二阶可导，f(a)=f(b)=0，且对x(a≤x≤b)满足 f"(x)+g(x)f’(x)一f(x)=0． 求证：当x∈[a，b]时f(x)≡0．

设g(x)在[a，b]连续，f(x)在[a，b]二阶可导，f(a)=f(b)=0，且对x(a≤x≤b)满足 f"(x)+g(x)f’(x)一f(x)=0． 求证：当x∈[a，b]时f(x)≡0．

admin2019-08-06  48
问题 设g(x)在[a，b]连续，f(x)在[a，b]二阶可导，f(a)=f(b)=0，且对x(a≤x≤b)满足
    f"(x)+g(x)f’(x)一f(x)=0．
求证：当x∈[a，b]时f(x)≡0．
选项
答案若f(x)在[a，b]不恒为零，则f(x)在[a，b]取正的最大值或负的最小值． 无妨设f(x0)=[*]f(x)＞0，则x0∈(a，b)且f’(x0)=0，f"(x0)≤0，从而f"(x0)+g(x0)f’(x0)一f(x0)＜0，与已知条件矛盾．类似可得若f(x1)=[*]f(x)＜0，同样与已知条件矛盾．因此当x∈[a，b]时f(x)≡0．
解析
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考研数学三

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