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  3. 已知线性方程组 (Ⅰ)当a，b，c满足什么关系时，方程组只有零解? (Ⅱ)当a，b，c满足什么关系时，方程组有非零解?并求通解。

已知线性方程组 (Ⅰ)当a，b，c满足什么关系时，方程组只有零解? (Ⅱ)当a，b，c满足什么关系时，方程组有非零解?并求通解。

admin2020-03-05  29
问题 已知线性方程组

(Ⅰ)当a，b，c满足什么关系时，方程组只有零解?
(Ⅱ)当a，b，c满足什么关系时，方程组有非零解?并求通解。
选项
答案方程组系数矩阵A的行列式 ｜A｜=[*]=(b-a)(c-a)(c-b)。(范德蒙德行列式) (Ⅰ)当a≠b，a≠c，b≠c时，有｜A｜≠0，且R(A)=3，所以方程组只有零解x1=x2=x3=0。 (Ⅱ)对方程组有非零解的情形分四种情况讨论。 1°当a=b≠c时， [*] R(A)=2＜3，方程组有非零解，此时同解方程组为 [*] 选x2为自由变量，则方程组的通解为x=k1[*]，k1是任意常数。 2°当a=c≠b时， [*] R(A)=2＜3，方程组有非零解。此时同解方程组为 [*] 选x3为自由变量，则方程组的通解为x=k2[*]，k2是任意常数。 3°当b=c≠a时， [*] R(A)=2＜3，方程组有非零解，此时同解方程组为 [*] 选x3为自由变量，则方程的通解为x=k3[*]，其中k3是任意常数。 4°当a=b=c时， [*] R(A)=1＜3，方程组有非零解。此时同解方程组为 x1+x2+x3=0， 选x2，x3为自由变量，则方程组的通解为x=k4[*]，其中k4，k5是任意常数。
解析
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考研数学一

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