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设函数f(χ)二阶连续可导,f(0)=1且有f′(χ)+3∫0χf′(t)dt+2χ∫01f(tχ)dt+e-χ=0,求f(χ).
设函数f(χ)二阶连续可导,f(0)=1且有f′(χ)+3∫0χf′(t)dt+2χ∫01f(tχ)dt+e-χ=0,求f(χ).
admin
2019-05-11
77
问题
设函数f(χ)二阶连续可导,f(0)=1且有f′(χ)+3∫
0
χ
f′(t)dt+2χ∫
0
1
f(tχ)dt+e
-χ
=0,求f(χ).
选项
答案
因为χ∫
0
1
f(tχ)dt=∫
0
χ
f(u)du,所以f′(χ)+3∫
0
χ
f′(t)dt+2χ∫
0
1
f(tχ)dt+e
-χ
=0可化为 f′(χ)+3∫
0
χ
f′(t)dt+2∫
0
χ
f(t)dt+e
-χ
=0, 两边对χ求导得f〞(χ)+3f′(χ)+2f(χ)=e
-χ
, 由λ
2
+3λ+2=0得λ
1
=-1,λ
2
=-2, 则方程f〞(χ)+3f′(χ)+2f(χ)=0的通解为C
1
e
-χ
+C
2
e
-2χ
. 令f〞(χ)+3f′(χ)+2f(χ)=e
-χ
的一个特解为y
0
=aχe
-χ
,代入得a=1, 则原方程的通解为f(χ)=C
1
e
-χ
+C
2
e
-2χ
+χe
-χ
. 由f(0)=1,f′(0)=-1得C
1
=0,C
2
=1,故原方程的解为f(χ)=e
-2χ
+χe
-χ
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/8wV4777K
0
考研数学二
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