2. 考研
  3. 设函数f(χ)二阶连续可导，f(0)＝1且有f′(χ)＋3∫0χf′(t)dt＋2χ∫01f(tχ)dt＋e－χ＝0，求f(χ)．

设函数f(χ)二阶连续可导，f(0)＝1且有f′(χ)＋3∫0χf′(t)dt＋2χ∫01f(tχ)dt＋e－χ＝0，求f(χ)．

admin2019-05-11  75
问题 设函数f(χ)二阶连续可导，f(0)＝1且有f′(χ)＋3∫0χf′(t)dt＋2χ∫01f(tχ)dt＋e－χ＝0，求f(χ)．
选项
答案因为χ∫01f(tχ)dt＝∫0χf(u)du，所以f′(χ)＋3∫0χf′(t)dt＋2χ∫01f(tχ)dt＋e－χ＝0可化为 f′(χ)＋3∫0χf′(t)dt＋2∫0χf(t)dt＋e－χ＝0， 两边对χ求导得f〞(χ)＋3f′(χ)＋2f(χ)＝e－χ， 由λ2＋3λ＋2＝0得λ1＝－1，λ2＝－2， 则方程f〞(χ)＋3f′(χ)＋2f(χ)＝0的通解为C1e－χ＋C2e－2χ． 令f〞(χ)＋3f′(χ)＋2f(χ)＝e－χ的一个特解为y0＝aχe－χ，代入得a＝1， 则原方程的通解为f(χ)＝C1e－χ＋C2e－2χ＋χe－χ． 由f(0)＝1，f′(0)＝－1得C1＝0，C2＝1，故原方程的解为f(χ)＝e－2χ＋χe－χ．
解析
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考研数学二

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