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  3. 设随机变量X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布，试求： (I)U=XY，的概率密度fU(u)； (Ⅱ)V=｜X—Y｜的概率密度fV(v)．

设随机变量X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布，试求： (I)U=XY，的概率密度fU(u)； (Ⅱ)V=｜X—Y｜的概率密度fV(v)．

admin2017-05-10  89
问题 设随机变量X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布，试求：
(I)U=XY，的概率密度fU(u)；  (Ⅱ)V=｜X—Y｜的概率密度fV(v)．
选项
答案由于X与Y相互独立且密度函数已知，因此我们可以用两种方法：分布函数法与公式法求出U、V的概率密度． (I)分布函数法．由题设知(X，Y)联合概率密度 [*] 所以U=XY的分布函数为(如图3．3) [*] 当u≤0时，FU(u)=0；当u≥1时，FU(u)=1；当0＜u＜1时， [*] [*] (Ⅱ)分布函数法．由题设知 [*] 所以V=｜X—Y｜的分布函数FV(v)=P{｜X—Y｜≤v}． 当v≤0时，FV(v)=0；当v＞0时， FV(v)=P{｜X—Y｜≤v}=P{一v≤X—Y≤v} [*] 由图3．4知，当v≥1时，Fv(v)=1；当0＜v＜1时， [*] 其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1，｜x一y｜≤v}． [*] [*]
解析
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考研数学三

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