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设向量α1=(1,一1,1)T,α2=(1,k,一1)T,α3=(k,1,2)T,β=(4,k2,一4)T.问k取何值时,β可由α1,α2,α3线性表示?并求出此线性表示式.
设向量α1=(1,一1,1)T,α2=(1,k,一1)T,α3=(k,1,2)T,β=(4,k2,一4)T.问k取何值时,β可由α1,α2,α3线性表示?并求出此线性表示式.
admin
2017-08-28
45
问题
设向量α
1
=(1,一1,1)
T
,α
2
=(1,k,一1)
T
,α
3
=(k,1,2)
T
,β=(4,k
2
,一4)
T
.问k取何值时,β可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示?并求出此线性表示式.
选项
答案
设有数x
1
,x
2
,x
3
,使x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
=β.对此方程组的增广矩阵施行初等行变换: [*] 由阶梯形矩阵可见 (1)当(4一k)(k+1)≠0,即k≠4且k≠=—1时,r(A)=[*]=3,方程组有唯一解.此时,对矩阵B作初等行变换,可得方程组的唯一解为: [*]。 (2)当k=一1时,r(A)=2,而[*]=3,方程组无解,故此时β不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示. (3)当k=4时,对矩阵B作初等行变换: [*] 由此得方程组的通解为 x
1
=一3c,x
2
=4一c,x
3
=c,其中c为任意常数,故此时有β=一3cα
1
+(4一c)α
2
+cx
3
(c为任意常数).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/91r4777K
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考研数学一
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[*]
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