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设a1=1，当n≥1时，，证明：数列{an}收敛，并求其极限值．
设a1=1，当n≥1时，，证明：数列{an}收敛，并求其极限值．
admin
2017-04-11
41
问题
设a
1
=1，当n≥1时，
，证明：数列{a
n
}收敛，并求其极限值．
选项
答案
设[*]所以f(x)在[0，+∞)上单调减少，由于a
1
=1，[*]．可知a
1
＞a
3
＞a
2
，而f(x)在[0，+∞)上单调减少，所以有f(a
1
)＜f(a
3
)＜f(a
2
)，即a
2
＜a
4
＜a
3
，所以a
1
＞a
3
＞a
4
＞a
2
，递推下去就可以得到 a
1
＞a
3
＞a
5
＞…＞a
2n-1
＞…＞a
2n
＞…＞a
6
＞a
4
＞a
2
， 由此可以肯定，给定数列的奇数项子数列{a
2n-1
}单调减少且有下界[*]，偶数项子数列{a
2n
}单调增加且有上界a
1
=1，所以他们都收敛,设他们的极限分别为正数P和Q，即[*]在a
n+1
=f(a
n
)两边同取n→∞时的极限，根据函数f(x)的连续性，有[*]
解析
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考研数学二
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