n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )

admin2018-05-17 46

问题 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )

选项 A、二次型x^TAx的负惯性指数为零。
B、存在可逆矩阵P使P^－1AP=E。
C、存在n阶矩阵C使A=C^－1C。
D、A的伴随矩阵A^*与E合同。

答案D

解析选项A是必要不充分条件。这是因为r(A)=p+q≤n，当q=0时，有r(A)=p≤n。此时有可能P＜n，故二次型x^TAx不一定是正定二次型。因此矩阵A不一定是正定矩阵。例如f(x₁，x₂，x₃)=x₁²+5x₃²。
选项B是充分不必要条件。这是因为P^－1AP=E表示A与E相似，即A的特征值全是1，此时A是正定的。但只要A的特征值全大于零就可保证A正定，因此特征值全是1是不必要的。选项C中的矩阵C没有可逆的条件，因此对于A=C^TC不能说A与E合同，也就没有A是正定矩阵的结论。例如

显然矩阵不正定。
关于选项D，由于

，
所以D是充分必要条件。

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考研数学二

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设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2列得C，记P=，则()．

设A，B皆为n阶矩阵，则下列结论正确的是()．

设f(x)为[0，1]上的单调增加的连续函数，证明

方程yy’’=1+y’2满足初始条件y(0)=1，y’(0)=0的通解为__________．

设矩阵A=(aij)3×3，满足A=A，其中AT为A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵．若a11a12，a13为三个相等的正数，则a11为()．

微分方程ydx+(x2-4x)dy=0的通解为_________．

(2008年试题，22)设n元线性方程组Ax=b，其中(I)证明行列式｜A｜=(n+1)an；(Ⅱ)a为何值时，方程组有唯一解?求x1；(Ⅲ)a为何值时，方程组有无穷多解?求通解．

某县2004年年底人口数为x0(单位：万人)，已知该县人口的年均增长率为r(r为常数)，则该县2014年年底人口数为_____．

患者，男，26岁。腰痛，活动受限半年余。CT检查如图所示。关于CT图像，描述正确的是1．L2椎体下缘骨质破坏2．L3椎体下缘骨质破坏3．L2～3间隙正常4．L3～4间隙明显变窄5．右侧腰大肌肿胀、钙化灶6．左侧腰大肌肿胀、钙化灶

下述各项，属于行政处分的是

在正常工作条件下，作用水头H、直径d相等时，小孔口收缩断面的流速v和圆柱形外管嘴出流的流速vn()。

沥青混合料摊铺机必须缓慢、均匀、连续不间断地摊铺，当发现沥青混合料出现明显的()等现象时，应分析原因，予以及时消除。

国家确定职业分类，对规定的职业制定职业技能标准，实行(　　)。

四川诗人陈子昂开初唐一代诗风，其代表作有《感遇诗》38首、《蓟丘览古》7首、《登幽州台歌》。()

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