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设a1,a2,…,an为n个n维向量,证明:a1,a2,…,an线性无关的充分必要条件是任一n维向量总可由a1,a2,…,an线性表示.
设a1,a2,…,an为n个n维向量,证明:a1,a2,…,an线性无关的充分必要条件是任一n维向量总可由a1,a2,…,an线性表示.
admin
2019-11-25
75
问题
设a
1
,a
2
,…,a
n
为n个n维向量,证明:a
1
,a
2
,…,a
n
线性无关的充分必要条件是任一n维向量总可由a
1
,a
2
,…,a
n
线性表示.
选项
答案
设a
1
,a
2
,…,a
n
线性无关,对任意的n维向量a,因为a
1
,a
2
,…,a
n
,a一定线性相关,所以口可由a
1
,a
2
,…,a
n
唯一线性表示,即任一n维向量总可由a
1
,a
2
,…,a
n
线性表示. 反之,设任一n维向量总可由a
1
,a
2
,…,a
n
线性表示, 取e
1
=[*],e
2
=[*],…,e
n
=[*],则e
1
,e
2
,…,e
n
可由a
1
,a
2
,…,a
n
线性表示,故a
1
,a
2
,…,a
n
的秩不小于e
1
,e
2
,…,e
n
的秩,而e
1
,e
2
,…,e
n
线性无关,所以a
1
,a
2
,…,a
n
的秩一定为n,即a
1
,a
2
,…,a
n
线性无关.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/99D4777K
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考研数学三
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