设a1，a2，…，an为n个n维向量，证明：a1，a2，…，an线性无关的充分必要条件是任一n维向量总可由a1，a2，…，an线性表示．

admin2019-11-25 63

问题设a₁，a₂，…，a_n为n个n维向量，证明：a₁，a₂，…，a_n线性无关的充分必要条件是任一n维向量总可由a₁，a₂，…，a_n线性表示．

选项

答案设a₁，a₂，…，a_n线性无关，对任意的n维向量a，因为a₁，a₂，…，a_n，a一定线性相关，所以口可由a₁，a₂，…，a_n唯一线性表示，即任一n维向量总可由a₁，a₂，…，a_n线性表示．反之，设任一n维向量总可由a₁，a₂，…，a_n线性表示，取e₁＝[*]，e₂＝[*]，…，e_n＝[*]，则e₁，e₂，…，e_n可由a₁，a₂，…，a_n线性表示，故a₁，a₂，…，a_n的秩不小于e₁，e₂，…，e_n的秩，而e₁，e₂，…，e_n线性无关，所以a₁，a₂，…，a_n的秩一定为n，即a₁，a₂，…，a_n线性无关．

解析

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考研数学三

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设a1，a2，…，an为n个n维向量，证明：a1，a2，…，an线性无关的充分必要条件是任一n维向量总可由a1，a2，…，an线性表示．

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