设有级数求微分方程y’’—y=—l的通解，并由此确定该级数的和函数y(x)．

admin2019-08-26 61

问题设有级数

求微分方程y’’—y=—l的通解，并由此确定该级数的和函数y(x)．

选项

答案y’’—y=0的特征方程，r²—1=0的特征根为[*]，于是对应齐次方程的通解为 Y=C₁ e^x+C₂ e^—x，又特解为y^*=1，故y’’—y=—1的通解为y= C₁ e^x+C₂ e^—x+1．又幂级数的和函数y(x)满足y’’(x) —y(x)= —1，且y(0)=2，y’(0)=0，则y(x)即为微分方程 y’’—y=—1满足初值条件y|_x—0=2，y’|_x—0=0的特解，即 [*] 所以和函数[*]

解析【思路探索】先求收敛域，进而利用幂级数的性质推导出微分方程，最后通过微分方程求解求得和函数．

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