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设n元实二次型 f(x1,…,xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn—1+an—1xn)2+(xn+anx1)2,其中a1,…,an均为实数。试问:当a1,…,an满足何种条件时,二次型f是正定的。
设n元实二次型 f(x1,…,xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn—1+an—1xn)2+(xn+anx1)2,其中a1,…,an均为实数。试问:当a1,…,an满足何种条件时,二次型f是正定的。
admin
2019-03-23
73
问题
设n元实二次型
f(x
1
,…,x
n
)=(x
1
+a
1
x
2
)
2
+(x
2
+a
2
x
3
)
2
+…+(x
n—1
+a
n—1
x
n
)
2
+(x
n
+a
n
x
1
)
2
,其中a
1
,…,a
n
均为实数。试问:当a
1
,…,a
n
满足何种条件时,二次型f是正定的。
选项
答案
依题意知,对任意的x
1
,…,x
n
,均有f≥0,易知当且仅当下列齐次线性方程组只有零解时,二次型是正定的。 [*] 而当且仅当系数矩阵的行列式非零时,此齐次线性方程组只有零解,即 [*] 所以,当a
1
…a
n
≠(—1)
n
时,二次型f为正定二次型。
解析
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考研数学二
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