设矩阵已知线性方程组AX=β有解但不惟一，试求正交矩阵Q，使QTAQ为对角矩阵．

admin2018-07-26 37

问题设矩阵

已知线性方程组AX=β有解但不惟一，试求
正交矩阵Q，使Q^TAQ为对角矩阵．

选项

答案由a=－2知 [*] 得A的特征值为λ₁=0，λ₂=3，λ₃=－3．对于λ₁=0，解方程组(0E－A)X=0，由 [*] 得对应的特征向量为α₁=(1，1，1)^T，单位化，得对应的单位特征向量为 [*] 对于λ₂=3，解方程组(3E－A)X=0，由 [*] 得对应的特征向量为α₂=(1，0，－1)^T．单位化，得对应的单位特征向量为 [*] 对于特征值－3，解方程组(－3E－A)X=0，由 [*] 得对应的特征向量为e₃=(1，－2，1)^T，单位化，得对应的单位特征向量为 [*] 故所求的正交矩阵为 Q=[e₁ e₂ e₃] [*]

解析

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考研数学三

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设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵P=其中A*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．(Ⅰ)计算并化简PQ；(Ⅱ)证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．
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