设有曲线y=，过原点作其切线，求由此曲线、切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积．

admin2019-04-05 66

问题设有曲线y=

，过原点作其切线，求由此曲线、切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积．

选项

答案先求曲线y=[*]过原点的切线，然后再按旋转体表面积的计算公式求出其表面积．设切点为(x₀，[*])，则曲线y=[*]在此点的切线斜率为1／(2[*])，于是切线方程为 y一[*]=(x—x₀)．因该切线经过原点，将y∣_x=0=0代入得x₀=2，于是过原点的切线方程为y=x／2，而切点为(2，1)，如图1．3．5．5所示．由曲线y=[*](1≤x≤2)绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积为 S₁=∫₁²2πy[*]dx=π(5√5一1)／6．由直线段y=x／2(0≤x≤2)绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积为 S₂=∫₀²2πy=[*]dx=∫₀²2π·[*]dx=√5π．故所求旋转体的表面积为S=S₁+S₂=π(11√5一1)／6． [*]

解析

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考研数学二

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设有曲线y=，过原点作其切线，求由此曲线、切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积．

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