2. 考研
  3. 设不恒为零的函数f(x)在[0，1]上有二阶连续导数，且f(0)=f(1)=0．记M={｜f(x)｜)}．证明： ∫01[f(x)+x(1-x)f”(x)]dx=0．

设不恒为零的函数f(x)在[0，1]上有二阶连续导数，且f(0)=f(1)=0．记M={｜f(x)｜)}．证明： ∫01[f(x)+x(1-x)f”(x)]dx=0．

admin2022-04-27  106
问题 设不恒为零的函数f(x)在[0，1]上有二阶连续导数，且f(0)=f(1)=0．记M={｜f(x)｜)}．证明：
∫01[f(x)+x(1-x)f”(x)]dx=0．
选项
答案由于 ∫01x(x-1)f”(x)dx=∫01x(x-1)d[f’(x)] =(x2-x)f’(x)｜x01-∫01(2x-1)f’(x)dx =-∫x01(2x-1)f’(x)dx=-(2x-1)f(x)｜x01+2∫x01f(x)dx =2∫x01f(x)dx， 故∫x01[f(x)+[*]x(1-x)f”(x)]dx=0．
解析
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考研数学三

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