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  3. 设函数f(x)在(0，+∞)上二阶可导，且f’’(x)＞0，记un=f(n)，n=1，2，…，又u1＜u2，证明un=+∞。

设函数f(x)在(0，+∞)上二阶可导，且f’’(x)＞0，记un=f(n)，n=1，2，…，又u1＜u2，证明un=+∞。

admin2018-12-19  120
问题 设函数f(x)在(0，+∞)上二阶可导，且f’’(x)＞0，记un=f(n)，n=1，2，…，又u1＜u2，证明un=+∞。
选项
答案对函数f(x)分别在区间[k，k+1](k=1，2，…，n，…)上使用拉格朗日中值定理 u2一u1=f(2)一f(1)=f’(ξ1)＞0，1＜ξ2＜2， …… un—1一un—2=f(n一1)一f(n一2)=f’(ξn—2一2)，n一2＜ξn—2＜n一1， un一un—1=f(n)一f(n一1)=f’(ξn—1)，n一1＜ξn—1＜n。 因f’’(x)>0，故f’(x)严格单调增加，即有 f’(ξn—1)＞f’(ξn—2)＞…＞f’(ξ2)＞f’(ξ1)=u2一u1， 则有 un=(un一un—1)+(un—1—un—2)+…+(u2一u1)+u1 =f’(ξn—1)+f’(ξn—2)+…+f’(ξ1)+u1 ＞f’(ξ1)+f’(ξ1)+…+f’(ξ1)+u1 =(n一1)(u2一u1)+u1， 于是有[*]。
解析
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考研数学二

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