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证明:二次型f=xTAx在|x|=1时的最大值为对称阵A的最大特征值.
证明:二次型f=xTAx在|x|=1时的最大值为对称阵A的最大特征值.
admin
2020-06-05
48
问题
证明:二次型f=x
T
Ax在|x|=1时的最大值为对称阵A的最大特征值.
选项
答案
设λ
1
≥λ
2
≥…≥λ
n
为矩阵A的n个特征值,由于对称阵一定可正交对角化,故存在正交矩阵P=(p
1
,p
2
,…,p
n
),使得P
T
AP=diag(λ
1
,λ
2
,…,λ
n
)=[*],并且P的第i个列向量p
i
是对应于特征值λ
i
的单位特征向量.作正交变换x=Py,其中x=(x
1
,x
2
,…,x
n
)
T
,y=(y
1
,y
2
,…,y
n
)
T
,则 ||x||
2
=x
T
x=y
T
P
T
Py=y
T
y=||y||
2
从而 [*] 另一方面,取y
0
=e
1
=(1,0,…,0)
T
,则||y
0
||=||e
1
||=1,令x
0
=Py
0
,则||x
0
||=1,且二次型f(x)在x
0
处的值为 f(x
0
)=x
T
Ax
0
=y
0
T
P
T
APy
0
=y
0
T
[*]y
0
=λ
1
综上所述[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/9Nv4777K
0
考研数学一
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