设A为m×n矩阵.证明:对任意m维列向量b,非齐次线性方程组Ax=b恒有解的充分必要条件是r(A)=m.

admin2016-04-11  53

问题 设A为m×n矩阵.证明:对任意m维列向量b,非齐次线性方程组Ax=b恒有解的充分必要条件是r(A)=m.

选项

答案必要性:设εj为Em的第j个列向量,由必要性假定,方程组Ax=εj有解cj,即Acjj,(j=1,2,…,m),→A[c1 c2 … cm]=[ε1 ε2 …εm]=Em,记C=[c1 c2 … cm],则有AC=Em,故m=r(Em)=r(AC)≤r(A)≤m,→r(A)=m;充分性:设r(A)=m,即A的行向量组线性无关,故[*]的行向量组线性无关,从而有[*]=m,由有解判定定理,知方程组Ax=b有解(其中[*]=[A | b]).

解析
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