设A为m×n矩阵．证明：对任意m维列向量b，非齐次线性方程组Ax=b恒有解的充分必要条件是r(A)=m．

admin2016-04-11 49

问题设A为m×n矩阵．证明：对任意m维列向量b，非齐次线性方程组Ax=b恒有解的充分必要条件是r(A)=m．

选项

答案必要性：设ε_j为E_m的第j个列向量，由必要性假定，方程组Ax=ε_j有解c_j，即Ac_j=ε_j，(j=1，2，…，m)，→A[c₁ c₂ … c_m]=[ε₁ ε₂ …ε_m]=E_m，记C=[c₁ c₂ … c_m]，则有AC=E_m，故m=r(E_m)=r(AC)≤r(A)≤m，→r(A)=m；充分性：设r(A)=m，即A的行向量组线性无关，故[*]的行向量组线性无关，从而有[*]=m，由有解判定定理，知方程组Ax=b有解(其中[*]=[A | b])．

解析

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考研数学一

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