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设A为m×n矩阵.证明:对任意m维列向量b,非齐次线性方程组Ax=b恒有解的充分必要条件是r(A)=m.
设A为m×n矩阵.证明:对任意m维列向量b,非齐次线性方程组Ax=b恒有解的充分必要条件是r(A)=m.
admin
2016-04-11
53
问题
设A为m×n矩阵.证明:对任意m维列向量b,非齐次线性方程组Ax=b恒有解的充分必要条件是r(A)=m.
选项
答案
必要性:设ε
j
为E
m
的第j个列向量,由必要性假定,方程组Ax=ε
j
有解c
j
,即Ac
j
=ε
j
,(j=1,2,…,m),→A[c
1
c
2
… c
m
]=[ε
1
ε
2
…ε
m
]=E
m
,记C=[c
1
c
2
… c
m
],则有AC=E
m
,故m=r(E
m
)=r(AC)≤r(A)≤m,→r(A)=m;充分性:设r(A)=m,即A的行向量组线性无关,故[*]的行向量组线性无关,从而有[*]=m,由有解判定定理,知方程组Ax=b有解(其中[*]=[A | b]).
解析
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考研数学一
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