设n阶矩阵已知tr(A)=a≠0．证明：矩阵A相似于对角矩阵．

admin2018-09-25 36

问题设n阶矩阵

已知tr(A)=a≠0．证明：矩阵A相似于对角矩阵．

选项

答案设α=[a₁，a₂，…，a_n]^T，β=[b₁，b₂，…，b_n]^T，则矩阵A=αβ^T．于是 A²=AA=(αβ^T)(αβ^T)=(β^Tα)αβ^T [*] =tr(A).A=aA．设λ是A的特征值，ξ是对应的特征向量，则 A²ξ=aAξ，λ²ξ=aλξ，(λ²－aλ)ξ=0．由于ξ≠0，故有λ(λ－a)=0．所以，矩阵A的特征值是0或a．又因为[*]=tr(A)=a≠0，所以λ₁=a是A的1重特征值，λ₂=λ₃=…=λ_n=0是A的n－1重特征值．对于特征值λ₂=λ₃=…=λ_n=0，齐次线性方程组(0.E－A)x=0系数矩阵的秩 r(0.E－A)=r(－A)=r(A) =r(αβ^T)≤min{r(α)，r(β^T))=1．又因为 [*] 故a_i，b_i(i=1，2，…，n)不全为零．由此可知 r(A)≥1．所以r(0.E－A)=1．因此，矩阵A的属于n－1重特征值0的线性无关的特征向量个数为n－1．从而，A有n个线性无关的特征向量，故A相似于对角矩阵．

解析

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考研数学一

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设f(x)在[0，1]二阶可导，且f(0)=f(1)=0，试证：ξ∈(0，1)使得

设f(x)在[a，b]上可导，且f′+(a)与f′－(b)反号，证明：存在ξ∈(a，b)使得f′(ξ)=0．

已知向量β可以由α1，α2，…，αs线性表出，证明：表示法唯一的充分必要条件是α1，α2，…，αs线性无关．

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讨论下列函数的连续性并判断间断点的类型：(I)y=(1+x)arctan；(II)y=－x)；(Ⅲ)y=(Ⅳ)=f(x)=，x∈(0，2π)；(Ⅴ)y=f[g(x)]，其中f(x)=

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