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设n阶矩阵 已知tr(A)=a≠0.证明:矩阵A相似于对角矩阵.
设n阶矩阵 已知tr(A)=a≠0.证明:矩阵A相似于对角矩阵.
admin
2018-09-25
22
问题
设n阶矩阵
已知tr(A)=a≠0.证明:矩阵A相似于对角矩阵.
选项
答案
设α=[a
1
,a
2
,…,a
n
]
T
,β=[b
1
,b
2
,…,b
n
]
T
,则矩阵A=αβ
T
. 于是 A
2
=AA=(αβ
T
)(αβ
T
)=(β
T
α)αβ
T
[*] =tr(A).A=aA. 设λ是A的特征值,ξ是对应的特征向量,则 A
2
ξ=aAξ,λ
2
ξ=aλξ,(λ
2
-aλ)ξ=0. 由于ξ≠0,故有λ(λ-a)=0.所以,矩阵A的特征值是0或a.又因为[*]=tr(A)=a≠0,所以λ
1
=a是A的1重特征值,λ
2
=λ
3
=…=λ
n
=0是A的n-1重特征值. 对于特征值λ
2
=λ
3
=…=λ
n
=0,齐次线性方程组(0.E-A)x=0系数矩阵的秩 r(0.E-A)=r(-A)=r(A) =r(αβ
T
)≤min{r(α),r(β
T
))=1. 又因为 [*] 故a
i
,b
i
(i=1,2,…,n)不全为零.由此可知 r(A)≥1. 所以r(0.E-A)=1.因此,矩阵A的属于n-1重特征值0的线性无关的特征向量个数为n-1.从而,A有n个线性无关的特征向量,故A相似于对角矩阵.
解析
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考研数学一
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