设n阶矩阵 已知tr(A)=a≠0.证明:矩阵A相似于对角矩阵.

admin2018-09-25  22

问题 设n阶矩阵

已知tr(A)=a≠0.证明:矩阵A相似于对角矩阵.

选项

答案设α=[a1,a2,…,an]T,β=[b1,b2,…,bn]T,则矩阵A=αβT. 于是 A2=AA=(αβT)(αβT)=(βTα)αβT [*] =tr(A).A=aA. 设λ是A的特征值,ξ是对应的特征向量,则 A2ξ=aAξ,λ2ξ=aλξ,(λ2-aλ)ξ=0. 由于ξ≠0,故有λ(λ-a)=0.所以,矩阵A的特征值是0或a.又因为[*]=tr(A)=a≠0,所以λ1=a是A的1重特征值,λ23=…=λn=0是A的n-1重特征值. 对于特征值λ23=…=λn=0,齐次线性方程组(0.E-A)x=0系数矩阵的秩 r(0.E-A)=r(-A)=r(A) =r(αβT)≤min{r(α),r(βT))=1. 又因为 [*] 故ai,bi(i=1,2,…,n)不全为零.由此可知 r(A)≥1. 所以r(0.E-A)=1.因此,矩阵A的属于n-1重特征值0的线性无关的特征向量个数为n-1.从而,A有n个线性无关的特征向量,故A相似于对角矩阵.

解析
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