设非负函数y＝y(x)(x≥0)满足微分方程xy"－y’＋2＝0．当曲线y＝y(x)过原点时，其与直线x＝1及y＝0围成的平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体的体积．

admin2021-01-19 133

问题设非负函数y＝y(x)(x≥0)满足微分方程xy"－y’＋2＝0．当曲线y＝y(x)过原点时，其与直线x＝1及y＝0围成的平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体的体积．

选项

答案解微分方程xy"－y’＋2＝0，得其通解y＝C₁＋2x＋C₂x²，其中C₁，C₂为任意常数，因为y＝y(x)通过原点时与直线x＝1及y＝0围成平面的面积为2，于是，可得C₁＝0及[*] 从而 C₂＝3．所求非负函数为y＝2x＋3x(T≥0)，在第一象限曲线y＝f(x)表示为[*] D绕．y轴旋转所得旋转体的体积为V＝5π－V₁，其中 [*] 所以，[*]

解析解微分方程xy"－y’＋2＝0并利用面积为2，求出曲线y＝y(x)的方程，进而求得旋转体的体积．

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考研数学二

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设非负函数y＝y(x)(x≥0)满足微分方程xy"－y’＋2＝0．当曲线y＝y(x)过原点时，其与直线x＝1及y＝0围成的平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体的体积．

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