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证明导函数的中间值定理(达布定理):设函数f(x)在区间[a,b]上可导(注意:不要求导函数f(x)在区间[a,b]上连续!),则对于任何满足min{f’(a),f’(b)}≤μ≤maax|f’(a),f’(b)}的常数μ,存在ξ∈[a,b]使得f’(ξ)
证明导函数的中间值定理(达布定理):设函数f(x)在区间[a,b]上可导(注意:不要求导函数f(x)在区间[a,b]上连续!),则对于任何满足min{f’(a),f’(b)}≤μ≤maax|f’(a),f’(b)}的常数μ,存在ξ∈[a,b]使得f’(ξ)
admin
2020-03-15
57
问题
证明导函数的中间值定理(达布定理):设函数f(x)在区间[a,b]上可导(注意:不要求导函数f(x)在区间[a,b]上连续!),则对于任何满足min{f
’
(a),f
’
(b)}≤μ≤maax|f
’
(a),f
’
(b)}的常数μ,存在ξ∈[a,b]使得f
’
(ξ)=μ.
选项
答案
若f
’
(a)=f
’
(b),则取ξ=a或ξ=b即可.若f
’
(a)≠f
’
(b),为了确定起见,无妨设f
’
(a)>f
’
(b)(对f
’
(a)
’(b)的情形可类似证明).当μ=f
’
(a)或μ=f
’
(b)时相应取ξ=a或ξ=b即可.从而只需证明μ介于f
’
(a)与f
’
(b)之间的情形定理的结论也成立.引入辅助函数F(x)=f(x)一μ(x一a),则F
’
(a)=f
’
(a)一μ>0,由导数的定义即得[*],从而存在x
1
∈(a,b)使得[*],于是F(x
0
)>F(a),这表明F(a)不是F(x)在[a,b]E的最大值.此外还有F
’
(b)=f
’
(b)一μ<0,同样由导数定义得[*],从而存在x
2
∈(x
1
,b)使得[*],于是F(x
2
)>F(b),这表明F(b)也不是F(x)在[a,b]上的最大值.综上所述即知必存在ξ∈(a,b)使得F(ξ)是F(x)在[a,b]上的最大值,由F(x)的可导性必有F
’
(ξ)=0即f
’
(ξ)=μ.类似可证,在相反的情形下必存在ξ∈(a,b)使得F(ξ)是F(ξ)在[a,b]上的最小值,由F(x)的可导性也有F
’
(ξ)=0即f
’
(ξ)=μ成立.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/9gD4777K
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考研数学三
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