证明导函数的中间值定理(达布定理):设函数f(x)在区间[a,b]上可导(注意:不要求导函数f(x)在区间[a,b]上连续!),则对于任何满足min{f’(a),f’(b)}≤μ≤maax|f’(a),f’(b)}的常数μ,存在ξ∈[a,b]使得f’(ξ)

admin2020-03-15  59

问题 证明导函数的中间值定理(达布定理):设函数f(x)在区间[a,b]上可导(注意:不要求导函数f(x)在区间[a,b]上连续!),则对于任何满足min{f(a),f(b)}≤μ≤maax|f(a),f(b)}的常数μ,存在ξ∈[a,b]使得f(ξ)=μ.

选项

答案若f(a)=f(b),则取ξ=a或ξ=b即可.若f(a)≠f(b),为了确定起见,无妨设f(a)>f(b)(对f(a)’(b)的情形可类似证明).当μ=f(a)或μ=f(b)时相应取ξ=a或ξ=b即可.从而只需证明μ介于f(a)与f(b)之间的情形定理的结论也成立.引入辅助函数F(x)=f(x)一μ(x一a),则F(a)=f(a)一μ>0,由导数的定义即得[*],从而存在x1∈(a,b)使得[*],于是F(x0)>F(a),这表明F(a)不是F(x)在[a,b]E的最大值.此外还有F(b)=f(b)一μ<0,同样由导数定义得[*],从而存在x2∈(x1,b)使得[*],于是F(x2)>F(b),这表明F(b)也不是F(x)在[a,b]上的最大值.综上所述即知必存在ξ∈(a,b)使得F(ξ)是F(x)在[a,b]上的最大值,由F(x)的可导性必有F(ξ)=0即f(ξ)=μ.类似可证,在相反的情形下必存在ξ∈(a,b)使得F(ξ)是F(ξ)在[a,b]上的最小值,由F(x)的可导性也有F(ξ)=0即f(ξ)=μ成立.

解析
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