已知A是三阶实对称矩阵，满足A4+2A3+A2+2A=O，且秩r(A)=2，求矩阵A的全部特征值，并求秩r(A+E)。

admin2019-01-19 56

问题已知A是三阶实对称矩阵，满足A⁴+2A³+A²+2A=O，且秩r(A)=2，求矩阵A的全部特征值，并求秩r(A+E)。

选项

答案设λ是矩阵A的任一特征值，α(α≠0)是属于特征值λ的特征向量，则Aα=λα，于是 Aⁿα=λⁿα。用α右乘A⁴+2A³+A²+2A=O，得(λ⁴+2λ³+λ²+2λ)α=0。因为特征向量α≠0，故λ⁴+2λ³+λ²+2λ=λ(λ+2)(λ²+1)=0。由于实对称矩阵的特征值必是实数，从而矩阵A的特征值是0或一2。由于实对称矩阵必可相似对角化，且秩r(A)=r(Λ)=2，所以A的特征值是0，一2，一2。因A相似于Λ，则有A+E与Λ+E=[*]相似，所以r(A+E)=r(Λ+E)=3。

解析

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考研数学三

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设A、B为同阶正定矩阵，且AB＝BA，证明：AB为正定矩阵．
设矩阵矩阵A满足关系式A(E－C-1B)TCT＝E，化简此关系式并求矩阵A．
实a为实的n维非零列向量，E为n阶单位矩阵，证明：矩阵A＝E－为对称的正交矩阵．
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设3阶方阵A的特征值λ1，λ2，λ3互不相同，α1，α2，α3依次为对应于λ1，λ2，λ3的特征向量，则向量组α1，A(α1＋α2)，A2(α1＋α2＋α3)线性无关的充分必要条件是λ1，λ2，λ3满足_______．
设λ为可逆方阵A的一个特征值，证明：(1)为A*-1的特征值；(2)为A的伴随矩阵A*的特征值．
求极限
设D为不等式0≤x≤3，0≤y≤1所确定的区域，则=_________.

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表达式Abs(-5)+Len("ABCDE")的值是______。
Iliketheblackshirt,becauseitis______ofthetwo.

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