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设函数f(x)在开区间(a,b)内可导,证明:当导函数f’(x)在(a,b)内有界时,函数f(x)在(a,b)内也有界.
设函数f(x)在开区间(a,b)内可导,证明:当导函数f’(x)在(a,b)内有界时,函数f(x)在(a,b)内也有界.
admin
2016-01-11
41
问题
设函数f(x)在开区间(a,b)内可导,证明:当导函数f’(x)在(a,b)内有界时,函数f(x)在(a,b)内也有界.
选项
答案
设x
0
,x∈(a,b),则f(x)在以x
0
,x为端点的区间上满足拉格朗日中值定理条件,因此有 f(x)-f(x
0
)=f’(ξ)(x-x
0
),其中ξ介于x
0
与x之间. 因为f’(x)在(a,b)内有界,即存在M
1
>0,使|f’(x)|<M
1
,x∈(a,b),所以 |f(x)|=|f(x)-f(x
0
)+f(x
0
)| ≤|f(x)-f(x
0
)|+|f(x
0
)| ≤|f’(ξ)(b-a)|+|f(x
0
)| ≤M
1
(b-a)+|f(x
0
)|=M, 即f(x)在(a,b)内有界.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/9l34777K
0
考研数学二
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