2. 考研
  3. 设函数f(x)在开区间(a，b)内可导，证明：当导函数f’(x)在(a，b)内有界时，函数f(x)在(a，b)内也有界．

设函数f(x)在开区间(a，b)内可导，证明：当导函数f’(x)在(a，b)内有界时，函数f(x)在(a，b)内也有界．

admin2016-01-11  759
问题 设函数f(x)在开区间(a，b)内可导，证明：当导函数f’(x)在(a，b)内有界时，函数f(x)在(a，b)内也有界．
选项
答案设x0，x∈(a，b)，则f(x)在以x0，x为端点的区间上满足拉格朗日中值定理条件，因此有 f(x)-f(x0)=f’(ξ)(x-x0)，其中ξ介于x0与x之间． 因为f’(x)在(a，b)内有界，即存在M1＞0，使|f’(x)|＜M1，x∈(a，b)，所以 |f(x)|=|f(x)-f(x0)+f(x0)| ≤|f(x)-f(x0)|+|f(x0)| ≤|f’(ξ)(b-a)|+|f(x0)| ≤M1(b-a)+|f(x0)|=M， 即f(x)在(a，b)内有界．
解析
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考研数学二

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